Question

Quais são as abcissas dos pontos em que a função $\sf{ f(x)~=~ \dfrac{ 10x }{x^2-4} }$ não admite derivadas?? ​

explicação passo-a-passo...

Answer 1

Resposta:

$\boxed{\boxed{x = \pm 2}}$

Explicação passo-a-passo:

@Marcelo, boa tarde, trocando por miúdos, o enunciado pretende saber quais são os pontos em que a função apresenta descontinuidade. Seja $f(x)$ uma função e, $\underline{a \in \green{\sf{Dom}(f)}}$, onde $\green{\sf{Dom}(f)}$ é um intervalo aberto, ou uma reunião de intervalos abertos mesmo, então $f$ é dita contínua em $x = a$, se:

$(i)~~~ \displaystyle\lim_{x \to a} f(x)$ existe;

$(ii) ~~ \displaystyle\lim_{x \to a} f(x) = \green{f(a)}$

Caso $f$ não verifique qualquer das condições acima, $f$ é dita descontínua em $x = a$ (por enquanto, não é tão relevante destacar os tipos de descontinuidade)

(Estas são apenas preliminares)

Respondendo formalmente: para saber as abcissas que fazem com que $f(x) = \dfrac{10x}{x^2 - 4}$ não seja diferenciável, basta primeiro achar o intervalo para qual $f$ está definido (o domínio neste caso), surge de antemão que,

$\iff x^2 - 4 \neq 0$ (óbvio, devemos respeitar as condições da existência de uma fração, portanto o denominador deve ser diferente de 0), doravante, ficámos com,

$\iff x \neq \pm 2, \\ \iff x \in \mathbb{R} \setminus \{\pm 2\}$

Portanto, esses pontos (de descontinuidade, $x = \pm 2$), onde neste caso $f$ consequentemente não é diferenciável. Lembrando que se uma função $f(x)$ é diferenciável em um ponto $x = a$, obrigatoriamente será contínua (acredito ser esse um corolário).

Enfim, basta observar que $f( \pm 2) \nexists$ (isto é, $f$ não encontra-se definida em $x = \pm 2$).

Poderíamos também achar estes pontos estudando (ou efectuando a derivada), observe que,

$f'(x) = \dfrac{10(x^2 - 4) - 10x(2x)}{(x^2 - 4)^2}$, observamos que, $x^2 - 4 \neq 0 \Leftrightarrow \boxed{x \neq \pm 2}$

Portanto, os pontos procurados são:

$\underline{x = \pm 2} \red{\checkmark}$

Espero ter colaborado!@ZIBIA

Answer 2

Resposta:

Sol: X=+/- 2

Explicação passo-a-passo:

Uma questão de Achar os pontos de descontinuidade da função. E para achar os pontos de descontinuidade (Onde a Função não é derivável Basta achar o DE da função

Numerador pertence a R e Denominador ≠ de Zero:

R\X²-4≠0

R\X=+-√4

R\X=+-2

Espero que a simples Análise minha do exercício Ajude a Alguém!