Question

Quais os valores que x pode assumir na funçao f(x)=-x^2+x+12 para que f(x)>igual a 0?

Answer 1

Oi Juaum

-x² + x + 12 

delta
d² = 1 + 48 = 49
d = 7

x1 = (-1 + 7)/-2 = -3
x2 = (-1 - 7)/-2 = 4 

-3 ≤ x ≤ 4

Answer 2

Vamos lá.

Veja, Juaum, que a resolução é simples.
Pede-se: determine os valores que "x' pode assumir para que:
a função função f(x) = -x² + x + 12 seja MAIOR ou IGUAL a zero, ou seja, para que tenhamos isto:

-x² + x + 12 ≥ 0

Antes de iniciar veja que uma função do 2º grau, da forma f(x)=ax²+bx+c, com raízes x' e x'' terá a seguinte variação de sinais:

i) f(x) terá o mesmo sinal do termo "a" (o termo "a" é o coeficiente de x²) para valores de "x" extrarraízes (fora das raízes), ou seja: para x < x' ou x > x''.
ii) f(x) será igual a zero para valores de "x" iguais às raízes, ou seja: para x = x' e para x = x''.
iii) f(x) terá sinal contrário ao do termo "a" para valores de "x" intrarraízes (entre as raízes), ou seja: para x' < x < x''.

Bem, tendo, portanto, as três condições acima no estudo de sinais de uma função do 2º grau, então vamos tomar a função da sua questão e vamos encontrar as suas raízes. Assim:

f(x) = - x² + x + 12 ---- para encontrar as raízes, faremos f(x) = 0. Assim:

-x² + x + 12 = 0 ----- se você aplicar Bháskara encontrará as seguintes raízes:

x' = -3
x'' = 4.

Agora vamos estudar a variação de sinais da função dada (note o que afirmamos nos itens "i", "ii" e "iii" acima, sobre a variação de sinais de equações do 2º grau):

-x²+x+12 ≥ 0 ... - - - - - - - -  (-3)+ + + + + + + + + + (4)- - - - - - - - - - - - -

Como queremos que a função dada seja MAIOR ou IGUAL a zero, então só nos vai interessar onde tiver sinal de MAIS (ou seja igual a zero) no gráfico acima. Assim, para que f(x) seja MAIOR ou IGUAL a zero, deveremos ter o "x"  no intervalo intrarraízes (entre as raízes), que dá o sinal contrário ao do termo "a". Logo, para que tenha f(x) ≥ 0, deveremos ter que:

-3 ≤ x ≤ 4 ----------- esta é a resposta.

Se você quiser, poderá apresentar o conjunto-solução da seguinte forma, o que é a mesma coisa:

S = {x ∈ R | -3 ≤ x ≤ 4}

Ou ainda, também se quiser, o conjunto-solução poderá ser dado do seguinte modo, o que significa o mesmo:

S = [-3; 4] . 

É isso aí.
Deu pra entender bem?

OK?
Adjemir.