Question

Quais os valores de p e q de modo que o polinômio P(x) = x4 − 4x3 + px2 + 2x + q seja divisível por Q(x) = x2 − 2x − 3?

Answer 1

$P(x) = x^4 -4x^3 +px^2 +2x+q$

$Q(x) = x^2 -2x-3$

Como P é divisível por Q, temos que ambos possuem as mesmas raízes. As duas raízes de Q são 3 e -1, logo:

$0 = 3^4-4\cdot(3)^3 +p\cdot 3^2 +2\cdot3+q \\~\\0 = -27+9p +6+q \\~\\9p +q = 21$

E:

$0 = (-1)^4-4\cdot(-1)^3 +p\cdot (-1)^2 +2\cdot(-1)+q \\~\\ 0 = 1 +4+p -2 +q \\~\\p+q = -3$

Resolvendo o sistema, temos que p = 3 e q = -6.