Question

Quais os valores de b e c , para que a equação x²+ b x+ c = 0 tenha como raizes -5 e 3 ?

Answer 1

Olá! 

Vamos relembrar alguns conceitos:

$Soma~=~ \frac{-b}{a}$

$Produto~= \frac{~c}{a}$

$x^{2} +bx+c=0$
$\frac{-b}{a} =-5 ---> \frac{-b}{1} = -5 ---> -b=-5$, logo b = 5

$\frac{c}{a} = 3 ---> \frac{c}{1} = 3 ---> c = 3$, logo c= 3 

$\boxed{b=5}}$
$\boxed{c=3}}$

Answer 2

E aí mano,

dada a equação do 2º grau,

$x^{2} +bx+c=0$

para que tenha como raízes -5 e 3, podemos fazer:

$\begin{cases}x'\\ x''\end{cases} =\dfrac{-b\pm \sqrt{b^2-4ac} }{2a}\\\\\\ \dfrac{-b\pm \sqrt{b^2-4*1*c} }{2*1}= \begin{cases}-5\\ ~~3\end{cases}~\to~ \dfrac{-b\pm \sqrt{b^2-4c} }{2}=\begin{cases}-5\\ ~~3\end{cases}\\\\\\ -b\pm \sqrt{b^2-4c}=\begin{cases}(-5)*2 \\ ~~~~3*2\end{cases}~\to~-b\pm \sqrt{b^2-4c}=\begin{cases}-10\\ ~~~~6\end{cases}\\\\\\ -b+ \sqrt{b^2-4c}=-10\\ \sqrt{b^2-4c}=-10+b\\ ( \sqrt{b^2-4c})^2=(-10+b)^2\\ b^2-4c=b^2-20b+100\\ -4c+20b=100~~(I)$

$-b- \sqrt{b^2-4c}=6\\ - \sqrt{b^2-4c}=6+b\\ (- \sqrt{b^2-4c})^2=(6+b)^2\\ b^2-4c=b^2+12b+36\\ 4c-12b=-36~~(II)$

Somando as duas equações, podemos encontrar b e logo em seguida encontrarmos c:

$\begin{cases}-4c+20b=100\\ ~~4c-12b=-36\end{cases}\\ ~~~~-------\\ ~~~~~~~~~~~~~8b~=~64\\ ~~~~~~~~~~~~~~b=64/8\\ ~~~~~~~~~~~~~~~b=8 \\\\ \begin{cases}4c-12b=-36\\ 4c-12*8=-36\\ 4c-96=-36\\ 4c=-36+96\\ 4c=60\\ c=60/4~\to~c=15\end{cases}$

Portanto, b vale 8 e c vale 15 .

Espero ter ajudado e tenha ótimos estudos =))