Question

Quais os possíveis valoresde k para que a equação (k-2)x²-6x-3=0 não tenha raiz reais? K

Answer 1

Para que não tenha raízes reais o valor de delta precisa ser menor que 0 

(k - 2)x² - 6x - 3 = 0 

Δ = b² - 4.a.c 

Δ = (-6)² - 4.(k - 2). - 3 

36 + 12.(k - 2) < 0 

36 + 12k - 24 < 0 

12k + 12 < 0 

12k < - 12 

k < -12/12 

k < -1                                 S = { k ∈ R / k < -1} 


k precisa ser menor que -1.                                                              ok 

Answer 2

Vamos lá.

Veja, Pedro, que a resolução é simples.
Pede-se os possíveis valores de "k" para que a equação abaixo NÃO tenha raízes reais.

(k-2)x² - 6x - 3 = 0

Antes de iniciar veja estes rápidos prolegômenos:

a) Uma equação do 2º grau, da forma ax² + bx + c = 0, terá duas raízes reais e diferentes se e somente se o seu delta (b²-4ac) for maior do que zero.
b) Uma equação do 2º grau, da forma ax² + bx + c= 0 terá uma única raiz real (ou seja terá duas raízes reais mas ambas iguais) se e somente se o seu delta (b² - 4ac) for igual a zero.
c) Uma equação do 2º grau, da forma ax² + bx + c = 0 , NÃO terá raízes reais se e somente se o seu delta (b²-4ac) for menor do que zero.

Bem, vistos esses rápidos prolegômenos aí em cima, vamos responder a sua questão, que pede os possíveis valores de "k" para que a equação abaixo NÃO tenha raízes reais:

(k-2)x² - 6x - 3 = 0

Note que o delta (b²-4ac) da função acima é este [veja que o termo "a" = (k-2), que é o coeficiente de x²; o termo "b" = - 6, que é o coeficiente de x; e o termo "c" = -3, que é o coeficiente do termo independente]:

b²-4ac = (-6)² - 4*(k-2)*(-3) ---- Como queremos que o delta seja MENOR do que zero, então vamos impor isto. Assim ficaremos:

(-6)² - 4*(k-2)*(-3) < 0 ---- como (-4)*(-3) = +12, ficaremos:
36 + 12(k-2) < 0 --- efetuando o produto indicado, teremos:
36 + 12k - 24 < 0 --- como 36-24 = 12, teremos:
12 + 12k < 0 ---- passando "12" para o 2º membro, teremos:
12k < - 12
k < -12/12
k < -1 ---- Esta é a resposta. Então, para que a equação da sua questão NÃO tenha raízes reais, basta que "k" seja menor do que "-1".

Se você quiser, também poderá apresentar o conjunto-solução da seguinte forma o que é a mesma coisa:

S = {k ∈ R | k < -1}.

Ou ainda, também se quiser, o conjunto-solução poderá ser expresso do seguinte modo, o que dá no mesmo:

S = (-∞; -1).

Você escolhe como quer apresentar o conjunto-solução. Todos os que apresentamos  aí em cima são equivalentes.

É isso aí.
Deu pra entender bem?

OK?
Adjemir.