Question

quais os números cujo produto é 120 e a diferença é 14?

Answer 1

Vamos chamar aos números queremos descobrir de x e y.,

Sabemos que o produto de x e y é 120. Traduzindo: x . y = 120  (o pontinho significa multiplicação). 

Sabemos que x -y = 14 

Assim sendo fazemos o sistema: 

x.y = 120 
x - y = 14 

x . y = 120
-y = 14 - x 

x.y = 120 
y = -(14-x) 

x.y = 120 
y = -14+x

x . (-14+x) = 120 
y = -14  + x

-14x + x² = 120
y = -14 + x 

x² - 14x - 120 =  0 
y = -14 + x

Para avançarmos teremos de resolver a equação de segundo grau: 
a = 1 
b= -14
c = -120 

Δ = b² - 4ac = (-14)² - 4 x 1 x (-120) = 196 + 480 = 676
√Δ = √676 = 26 

Ou seja x = (-b + √Δ)/2a    ou  x = (-b - √Δ)/2a 
x = [-(-14) + 26]/2   ou x  = [-(-14)+26]/2 
x = (14+26)/2 ou x = (14-26)/2
x = 20 ou x = -6 

Temos portanto duas soluções possíveis. Através delas teremos de descobrir os Y respetivos. 

Retomando: 

x² - 14x - 120 =  0 => x = 20 ou x = -2 
y = -14 + x 

x= 20 ou x = -2 
y = -14 + 20 ou y  = -14 + (-2)

x = 20 ou x = -2
y = 6 ou y = -16 

Ou seja temos dois pares de soluções: 
X =  20 e Y = 6 

PROVA: 
20 x 6 = 120 
20 - 6 =  14 

O outro par é x = -2 e y = - 16 

PROVA: 
-2 x (-16) = 32 -> afirmação falsa

Assim sendo os números cujo produto é 120 e a diferença é 14 são: 20 e 6. 

Answer 2

x*y = 120
x - y = 14
x = 14 + y
substitui o x na outra equação fica:
x*y = 120
(14 + y)*y = 120
y² + 14 y = 120
y² + 14 y - 120 = 0
Δ = b² - 4.a.c
Δ = 14² -4.1.-120
Δ = 196 + 480
Δ = 676 ⇒√676 = 26
x = - b + ou - 26/2.1
x´= -14 + 26 /2 ⇒12/2 = 6
x´´ = -14 - 26/2 ⇒-40/2 = -20
x*y = 120
6*y = 120
y = 120/6
y = 20
Os números são 20 e 6