Quais os métodos estudados que podem ser usados para calcular a resolução de um
sistema de equações do 1º grau com duas incógnitas?
Soluções para a tarefa
Resposta:Comparação,Substituição e Adição
Explicação passo-a-passo:
Método da Comparação
O método da comparação assemelha-se ao da substituição porque é necessário isolar uma das incógnitas, porém, ao contrário do outro método, na comparação isolamos a mesma incógnita nas duas equações.
Veja um exemplo:
( I ) X + Y = 7
( II )Y – 2X = 4
O primeiro passo é isolar uma das incógnitas em ambas equações. No sistema acima isolaremos o Y:
( I ) X + Y = 7
( I ) Y = 7 - X
( II )Y – 2X = 4
( II ) Y = 4 + 2X
Em seguida, devemos igualar as equações, comparando as igualdades.
Y = Y
7 – X = 4 + 2X
7 – 4 = 2X + X
3X = 3
X = 1
Sendo assim, se X é igual a 1:
( I ) X + Y = 7
1 + Y = 7
Y = 6
Método da substituição
Esse método consiste basicamente em três etapas:
Encontrar o valor algébrico de uma das incógnitas usando uma das equações;
Substituir esse valor na outra equação. Com isso, encontra-se o valor numérico de uma das incógnitas;
Substituir o valor numérico já encontrado em uma das equações para descobrir o valor da incógnita ainda desconhecida.
Como exemplo, observe a seguinte solução de um sistema:
Para o primeiro passo, podemos escolher qualquer uma das equações. Sugerimos sempre a escolha daquela que possui pelo menos uma incógnita com coeficiente 1 e essa deve ser a incógnita que terá seu valor algébrico encontrado. Escolheremos, portanto, a segunda e encontraremos o valor algébrico de x. Esse procedimento também é conhecido como “isolar a incógnita”, assim, também podemos dizer que isolaremos x:
x + y = 20
x = 20 – y
Observe que, para esse processo, apenas usamos as regras de solução de equações.
O segundo passo é substituir o valor dessa incógnita na outra equação. Observe que não é permitido substituir o valor de x na mesma equação já usada. Assim, teremos:
5x + 2y = 70
5·(20 – y) + 2y = 70
Aplicando a propriedade distributiva:
100 – 5y + 2y = 70
– 5y + 2y = 70 – 100
– 3y = – 30
3y = 30
y = 30
3
y = 10
Para cumprir o terceiro passo, basta substituir o valor da incógnita encontrada em qualquer uma das equações. Escolheremos a segunda por possuir os coeficientes menores.
x + y = 20
x + 10 = 20
x = 20 – 10
x = 10
A solução do sistema acima é x = 10 e y = 10, que também pode ser escrita da seguinte maneira: S = {10, 10}. Se essa última for usada, certifique-se de colocar primeiro o valor de x e, em seguida, o de y: S = {x, y}.
Método da Adição
A essência do método da adição consiste em somar as duas equações do sistema de forma que a soma de uma das incógnitas seja igual a zero. Para que isso seja possível, essa incógnita deve ter, nas duas equações, o mesmo valor em módulo, mas sinais opostos. Vamos resolver um sistema de duas equações seguindo o passo-a-passo do método.
sistema de equações onde a primeira equação é 5x - 3y = 11 e a segunda é x + y = -1
1º Passo: Avalie a necessidade de multiplicar por um valor inteiro uma ou as duas equações do sistema a fim de que a soma de uma das incógnitas seja igual a zero.
5x-3y=11
x+y=-1
6x-2y=10
Reparem no sistema acima, que nem a incógnita x e nem a incógnita y possuem valores iguais em módulo, mas com sinais opostos. Portanto, se somássemos as equações desse jeito, não seria possível eliminar qualquer uma das incógnitas:
somando as equações 5x - 3y = 11 e x + y = -1 temos como resposta 6x - 2y = 10
Assim, para resolvermos este impasse, podemos, por exemplo, multiplicar a segunda equação do sistema por – 5, de forma a eliminar a incógnita x. Outra solução poderia ser multiplicar a segunda equação do sistema por 3, de modo a eliminar a incógnita y. Vamos utilizar aqui essa segunda solução.
5x-3y=11
(3)x+y=-1
5x-3y=11
3x+3y=-3
multiplica-se a segunda equação do sistema x + y = -1 por 3 resultando em 3x + 3y = - 3
2º Passo: Some as duas equações do sistema e encontre o valor numérico da incógnita que não foi eliminada.
5x-3y=11
3x+3y=-3
8x+0y=-8
8x=-8
x=-8/8
x=-1
somando as equações 5x - 3y = 11 e 3x + 3y = -3 temos como resposta x = 1
Como no caso do exemplo a incógnita y foi eliminada, foi possível encontrar o valor numérico de x. No próximo passo, concluímos a resolução encontrando o valor de y.
3º Passo: Substitua o valor numérico encontrado em qualquer uma das equações iniciais de forma a determinar o valor numérico da incógnita que foi eliminada inicialmente.
Aqui, vamos substituir o valor de x na segunda equação inicial, de forma a obter o valor de y.
x + y = – 1
1 + y = – 1
y = – 2
Assim, o conjunto solução do sistema é dado por S = {(1, – 2)}.
Pessoal, é muito importante evidenciarmos aqui, que chegamos a esse resultado efetuando uma série de escolhas. Mas na verdade, vocês poderiam seguir qualquer outro caminho dentro desses mesmos passos. O importante é que o resultado obtido seja o mesmo, entendido?
Bom, para provar que existem vários meios de se chegar a mesma solução, vamos resolver agora o mesmo sistema de equações através do método da substituição. Estudem todos os passos com calma e avaliem qual dos métodos funciona melhor para vocês. Vamos lá!