Question

Quais os focos do eixo maior da elipse de equação 4x^2 25y^2=100?

Answer 1

Os focos estão em F1=(-√21, 0) e F2=(√21, 0)

Equação da elipse

A equação de uma elipse qualquer é dada por:

$\boxed{\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1}$

Onde a e b são distâncias de seus extremos. Se a>b, é dito que os focos da elipse estão no eixo x, e se b>a, os focos estão sobre o eixo y.

Para calcular a distância do centro que estão os focos, tem-se as seguintes equações:

• $\boxed{a^2=b^2+f^2}$
  
  Para caso a>b
  
• $\boxed{b^2=a^2+f^2}$
  
  Para caso b>a

Em que f é a distância do centro da elipse até seus focos.

Para a questão dada, é preciso deixar a equação no formato de uma equação de elipse, então:

$4x^2 +25y^2=100\\\\\frac{4}{100}x^2+\frac{25}{100}y^2=1\\\\\frac{x^2}{5^2}+\frac{y^2}{2^2}=1$

Então, agora é possível determinar a, b e os focos.

a e b são os valores extraídos da raiz quadrada abaixo de x e y, respectivamente, então:
a=5 e b=2

Com isso, para determinar os focos, temos:

$a^2=b^2+f^2\\\\f=\sqrt{a^2-b^2} \\\\f=\sqrt{25-4}\\ \\f=\sqrt{21}$

Portanto, os focos da elipse estão em nos pontos
F1=(-√21, 0) e F2=(√21, 0)

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