Question

Quais identidades abaixo são verdadeiras para os números obtidos com C(n,r), 1 <= r <=n?
a) C(n,r)=C(n,n-r); C(n,0)=C(n,n)=1 e C(n,1)=C(n,n-1)=n.
b) C(n,r)=C(n,n+r); C(n,0)=C(n,1)=1 e C(n,1)=C(n,n+1)=n.
c) C(n,r)=C(n,r-n); C(n,0)=C(n,n)=0 e C(n,1)=C(n,1-n)=n.
d) C(n,r)=C(n,n-r); C(n,0)=C(n,n)=0 e C(n,1)=C(n,n-1)=1.
d) C(n,r)=C(n,n-r); C(n,0)=C(n,n)=n e C(n,1)=C(n,n-1)=1.

Answer 1

Analisando as propriedades da combinação $C(n, r)$ descobrimos que a alternativa correta é a)

$C(n, r)$ é chamado de combinação e se lê como "dado n, escolha r" (do inglês, "given N, Choose r") é calculado pela seguinte expressão:

$C(n, r) =\dfrac{n!} {k! (n-k)!}$

Esta expressão dá o número total de combinações.

Exemplos para fortalecer a confiança na formula

Vamos retirar uma carta de um baralho de 52 cartas.

Sabemos que existem $n=52$ cartas possíveis de serem retiradas e vamos escolher apenas $r=1$ cartas.

Vamos ver então se a fórmula vale para este caso:

$C(n, r) =\dfrac{n!} {k! (n-k)!} =\dfrac{52!} {1! (52-1)!}=\frac{52\times(51!)}{51!}=52$

Opa! é válido para uma carta!

É se retirarmos duas cartas?

A gente espera que o número de possíveis mão sejam $52\times51$

Mas tem um porém!

A gente pode tirar primeiro uma carta X e depois uma carta Y ou o contrário. Primeiro a carta Y e depois a carta X (X=ases de espada e Y = rei de ouros, por exemplo)

A nossa contagem é dobrada e a probabilidade real é a metade. Portanto:

$\frac{52\times51} {2}$

Já a fórmula da combinação vai nos dar

$C(n, r) =\dfrac{n!} {k! (n-k)!} =\dfrac{52!} {2! (52-2)!}=\frac{52\times51\times(50!)}{2\times50!}=\frac{52\times51}{2}$

Para três, quatro ou mais cartas, é fácil seguir com o mesmo raciocínio feito anteriormente e ver (de forma intuitiva) que a fórmula de fato é valida.

Análise das alternativas

Temos 4 perguntas:

$C(n, 0)=$?

$C(n, 1)=$?

$C(n, n)=$?

$C(n, r)=C(n,n -r)$?

(obs) note que $C(n, n+x)=$ é impossível. É querer tirar 53 (ou 60, ou 1000) cartas do baralho de 52 cartas. Não faz sentido algum

Vamos substituir na fórmula e ver cada uma das perguntas acima.

$C(n, 0)=\dfrac{n!} {0! (n)!}=\frac{n!}{n!}=1$

$C(n, 1)=\dfrac{n!} {1! (n-1)!}=n$

$C(n, n)=\dfrac{n!} {n! (n-n)!}=1$

Por fim.

\dfrac{n!} {k! (n-k)!}

$C(n,n -k)=\dfrac{n!} {(n-k) ! (n-(n-k) )!}=\dfrac{n!} {(n-k) ! (k)!}$

Com todas estas perguntas respondidas, é necessário apenas comparar as afirmações de cada letra com os resultados obtidos. Assim, concluímos que a alternativa correta é a a)

Answer 2

Resposta:

Analisando as propriedades da combinação  descobrimos que a alternativa correta é a)

é chamado de combinação e se lê como "dado n, escolha r" (do inglês, "given N, Choose r") é calculado pela seguinte expressão:

Esta expressão dá o número total de combinações.

Exemplos para fortalecer a confiança na formula

Vamos retirar uma carta de um baralho de 52 cartas.

Sabemos que existem  cartas possíveis de serem retiradas e vamos escolher apenas  cartas.

Vamos ver então se a fórmula vale para este caso:

Opa! é válido para uma carta!

É se retirarmos duas cartas?

A gente espera que o número de possíveis mão sejam  

Mas tem um porém!

A gente pode tirar primeiro uma carta X e depois uma carta Y ou o contrário. Primeiro a carta Y e depois a carta X (X=ases de espada e Y = rei de ouros, por exemplo)

A nossa contagem é dobrada e a probabilidade real é a metade. Portanto:

Já a fórmula da combinação vai nos dar

Para três, quatro ou mais cartas, é fácil seguir com o mesmo raciocínio feito anteriormente e ver (de forma intuitiva) que a fórmula de fato é valida.

Análise das alternativas

Temos 4 perguntas:

?

?

?

?

(obs) note que  é impossível. É querer tirar 53 (ou 60, ou 1000) cartas do baralho de 52 cartas. Não faz sentido algum

Vamos substituir na fórmula e ver cada uma das perguntas acima.

Por fim.

\dfrac{n!} {k! (n-k)!}

Com todas estas perguntas respondidas, é necessário apenas comparar as afirmações de cada letra com os resultados obtidos. Assim, concluímos que a alternativa correta é a a)

Explicação passo-a-passo: