Question

quais dos seguintes numeros são racionais e quais são irracionais?
a)V25
B)V30
C)V36
D)V189
Com Cálculo De Todas

Answer 1

Quais dos seguintes numeros são racionais e quais são irracionais?
a)
V25=5
5×5=25
Racional

B)
V30=5.477225575
Irracional

C)
V36=6
6×6=36
Racional

D)
V189=13.74772708
Irracional

Answer 2

Bem, a prova é um pouco extensa mas interessante. Como eu não lembrava como provar resolvi dar uma olhada nos meus livros de Teoria dos Números. Obrigado pela pergunta!

Para um número ser racional ele precisa ser escrito na forma
$\frac{p}{q} | \{p,q\} \in Z, q\neq0$

Além de serem primos entre si ⇒ mdc(p,q) = 1

a)√25
$\sqrt{25} = \frac{p}{q} \to q\sqrt{25} = p$

Colocando os dois lados ao quadrado, temos:
$q^2 5^2 = p^2$

Note que p² tem que ser multiplo de 5 ⇒ p = 5k. Substituindo temos:
$q^2 25 = (5k)^2$
$q^2 25 = 25 k^2$
$q^2 = k^2$
$q = k$

Agora colocando os valores de p e q na definição temos:
$\sqrt{25} = \frac{5k}{k}$
$\sqrt{25} = 5$

Ou seja, √25 é um número racional

b)√30
$\sqrt{30} = \frac{p}{q} \to q\sqrt{30} = p$

Colocando os dois lados ao quadrado, temos:
$q^2 30 = p^2$
$q^2 2 \times3 \times5 = p^2$

Note que p² tem que ser multiplo de 2×3×5 ⇒ p = 30k. Substituindo temos:
$q^2 30 = (30k)^2$
$q^2 30 = 900k^2$
$q^2 = 30 k^2$
$q = k\sqrt{30}$

Agora colocando os valores de p e q na definição temos:
$\sqrt{30} = \frac{30k}{k\sqrt{30}}$
$\sqrt{30} = \frac{30k}{k\sqrt{30}} = \frac{30}{\sqrt{30}} \times \frac{\sqrt{30}}{\sqrt{30}} = \sqrt{30}$

Ou seja, √30 é um número irracional.

c)√36
$\sqrt{36} = \frac{p}{q} \to q\sqrt{36} = p$
Colocando os dois lados ao quadrado, temos:
$q^2 36 = p^2$
$q^2 2^2\times3^2 = p^2$

Note que p² tem que ser multiplo de 2×3 ⇒ p = 6k. Substituindo temos:
$q^2 36 = (6k)^2$
$q^2 36 = 36k^2$
$q^2 = k^2$
$q = k$

Agora colocando os valores de p e q na definição temos:
$\sqrt{36} = \frac{6k}{k}$
$\sqrt{36} = 6$

Ou seja, √36 é um número racional.

d)√189
$\sqrt{189} = \frac{p}{q} \to q\sqrt{189} = p$
Colocando os dois lados ao quadrado, temos:
$q^2 189 = p^2$
$q^2 3^3 \times7 = p^2$

Note que p² tem que ser multiplo de 3×7 ⇒ p = 21k. Substituindo temos:
$q^2 189 = (21k)^2$
$q^2 189 = 441k^2$
$q^2 3 = 7k^2$
$q^2 = \frac{7}{3}k^2$
$q = \sqrt{\frac{7}{3}} \times k$

Agora colocando os valores de p e q na definição temos:
$\sqrt{189} = \frac{21k}{k\sqrt{\frac{7}{3}}}$
$\sqrt{189} = \frac{21}{\sqrt{\frac{7}{3}}} \times \frac{\sqrt{\frac{7}{3}}}{\sqrt{\frac{7}{3}}} = \frac{21\sqrt{\frac{7}{3}}}{ \frac{7}{3}}$
$\frac{21\sqrt{\frac{7}{3}}}{ \frac{7}{3}} = \frac{63\sqrt{\frac{7}{3}}}{7} = 9\sqrt{ \frac{7}{3}} = \sqrt{81} \sqrt{\frac{7}{3}} = \sqrt{\frac{81\times7}{3}} = \sqrt{189}$

Ou seja, √189 é um número irracional.