Question

Quais dos itens a seguir coresponde a raiz do polimnomio p (x)= x6+ 3x5-11x4-15x3+46x2-24x

a) 5
b)0
c)6
d)4
e)1
f)-4
g)2

Answer 1

Vamos lá.

Veja, Franciele, que a resolução parece simples. Vamos tentar fazer tudo passo a passo para um melhor entendimento.

i) A questão é esta: quais dos itens a seguir corresponde uma das raízes do polinômio seguinte:

P(x) = x⁶ + 3x⁵ - 11x⁴ - 15x³ + 46x² - 24x

ii) Agora note isto: sempre que você quer encontrar uma raiz de qualquer polinômio você o iguala a zero. Então vamos igualr P(x) a zero, com o que ficaremos assim:

x⁶ + 3x⁵ - 11x⁴ - 15x³ + 46x² - 24x = 0 ---- vamos pôr "x" em evidência, com o que iremos ficar assim:

x*(x⁵ + 3x⁴ - 11x³ - 15x² + 46x - 24) = 0 ---- agora note: temos aqui o produto entre dois fatores cujo resultado é nulo. Quando isso ocorre um dos fatores é nulo (note que o primeiro fator é o "x" que está antes dos parênteses; o outro fator é tudo que está dentro dos parênteses). Então teremos as seguintes possibilidades:

ou

x = 0 ----> x' = 0

ou

x⁵ + 3x⁴ - 11x³ - 15x² + 46x - 24 = 0 ---> aqui fica deveras difícil de encontrar quais as 5 raízes restantes deste segundo fator. Mas isso não nos vai interessar agora. Veja que a pergunta é esta: quais dos itens a seguir corresponde a uma das raízes do polinômio dado? Então já poderemos AFIRMAR que uma das raízes é zero. Logo, a resposta será:

0 <--- Esta é a resposta. Opção "b".

iii) Bem, a resposta que demos aí em cima será apenas se a questão estiver pedindo qual seria uma das raízes do polinômio P(x). E, para encontrar, de forma rápida, colocamos "x" em evidência e vimos que uma das raízes seria x = 0.

Contudo, se a questão pede, entre os números dados nas opções, quais aqueles que são raízes do polinômio P(x), então é só saber quais os números, dentre as opções dadas, as que zerarão o polinômio (lembre-se que quem zera qualquer equação são suas raízes). Então vamos ver cada uma das opções dadas.

- Letra "a" temos o número "5". Então vamos ver se P(5) zerararia P(x). Note que basta que façamos a substituição de "x" por "5". Assim, teremos:

P(5) = 5⁶ + 3*5⁵ - 11*5⁴ - 15*5³ + 46*5² - 24*5 ----- desenvolvendo:

P(5) = 15.625 + 3*3.125 - 11*625 - 15*125 + 46*25 - 120

P(5) = 15.625 + 9.375 - 6.875 - 1.875 + 1.150 - 120

P(5) = 19.155 <--- Como não zerou, então "5" NÃO é uma raiz.

- Letra "b" temos o número 0. Então vamos ver se P(0) zera o polinômio P(x). Já vimos que sim. Mas vamos apenas ver como é verdade:

P(0) = 0⁶ + 3*0⁵ - 11*0⁴ - 15*0³ + 46*0² - 24*0

P(0) = 0 + 0 - 0 - 0 + 0 - 0

P(0) = 0 <---- Como zerou o polinômio, então é porque "0" é uma raiz.

-  Letra "c" temos o número 6. Vamos ver se P(6) zera o polinômio. Logo:

P(6) = 6⁶ + 3*6⁵ - 11*6⁴ - 15*6³ + 46*6² - 24*6

P(6) = 46.656 + 3*7.776 - 11*1.296 - 15*216 + 46*36 - 24*6

P(6) = 46.656 + 23.328 - 14.256 - 3.240 + 1.656 - 144

P(6) = 54.000 <---- Como P(6) não zerou, então "6" NÃO é raiz de P(x)

-  Letra "d" temos o número 4. Vamos ver se P(4) zera o polinômio. Logo:

P(4) = 4⁶ + 3*4⁵ - 11*4⁴ - 15*4³ + 46*4² - 24*4

P(4) = 4.096 + 3*1.024 - 11*256 - 15*64 + 46*16 - 14*4

P(4) = 4.096 + 3.072 - 2.816 - 960 + 736 - 56

P(4) =  4.072 <--- Como não zerou, então "4" NÃO é raiz de P(x).

-  Letra "e" temos o número 1. Vamos ver se P(1) zera o polinômio. Logo:

P(1) = 1⁶ + 3*1⁵ - 11*1⁴ - 15*1³ + 46*1² - 24*1

P(1) = 1 + 3 - 11 - 15 + 46 - 24

P(1) =0 <----- Como "1" zerou então "1' é uma das raízes de P(x).

-  Letra "f" temos o número "-4". Vamos ver se P(-4) zera o polinômio. Logo:

P(-4) = (-4)⁶ + 3*(-4)⁵ - 11*(-4)⁴ - 15*(-4)³ + 46*(-4)² - 24*(-4)

P(-4) = 4.096 + 3*(-1.024) - 11*256 - 15*(-64) + 46*16 + 96

P(-4) = 4.096 - 3.072 - 2.816 + 960 + 736 + 96

P(-4) = 0 <--- Como zerou, então "-4" é uma raiz de P(x).

- -  Letra "g" temos o número 2. Vamos ver se P(2) zera o polinômio. Logo:

P(2) = 2⁶ + 3*2⁵ - 11*2⁴ - 15*2³ + 46*2² - 24*2

P(2) = 64 + 3*32 - 11*16 - 15*8 + 46*4 - 48

P(2) = 64 + 96 - 176 - 120 + 184 - 48

P(2) = 0 <---- Como zerou, então "2" é uma raiz de P(x).

Assim, resumindo, temos que, dentre as opções dadas, os números que são raízes de P(x) serão estas: (note que estamos colocando apenas quem zerou P(x) dentre os números das opções dadas):

"-4", "0", "1" e "2" <---- Todos esses números são raízes de P(x), pois são os únicos que zeraram P(x) quando substituímos "x" por eles.

É isso aí.

Deu pra entender bem?

Ok?

Adjemir.