Question

Quais devem ser as dimensões de um jardim retangular de 432m2 de area para que ao mura-lo gasta-se o mínimo possível sabendo-se que o vizinho ao lado paga a metade pelo muro que limita sua propriedade

Answer 1

Olá luangustavo226...

Na imagem em anexo você pode ver os pontos principais do cálculo, um esboço do jardim e dos gráficos da função (hipótese e realidade).

Como o jardim é um retângulo, a área (A) é representada por:

$A = x \times y$

Onde x e y são os lados do retângulo.

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O custo é calculado multiplicando-se o comprimento do muro (perímetro do retângulo) pelo valor do custo por metro de muro. Na conta ignoraremos este valor, apenas o perímetro do retângulo já nos dá as informações de que precisamos.

O custo (C) será expresso pela seguinte fórmula:

$C = 2x + y + \frac{y}{2}$

No final temos y/2 porque o vizinho se propõe a pagar metade do valor gasto no muro que faz divisa com seu terreno (o lado oposto - y - e os dois lados perpendiculares - x - têm valor integral).

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Da fórmula da área nós tiramos que...

$A = x \times y$

$432 = x \times y$

$x = \frac{432}{y}$

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Substituindo está última fórmula com a fórmula do custo, nós temos...

$C = 2( \frac{432}{y} ) + y + \frac{y}{2}$

$C = \frac{1728 + 3 {y}^{2} }{2y}$

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Como o problema fala em "gasto mínimo", podemos esperar que o gráfico desta função seja parecido com uma parábola com concavidade para cima (observar na imagem o gráfico chamado "hipótese").

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Com isso em mente, podemos tentar encontrar o ponto mínimo desta parábola, onde o gasto com o muro será menor).

Utilizaremos técnicas de Cálculo para encontrar estes valores. Qualquer dúvida, pesquise "esboço de gráficos cálculo 1".

O primeiro passo é encontrar a derivada da função:

$C' = ( \frac{1728}{2y} )' + ( \frac{3 {y}^{2} }{2y} )'$

(Regra de derivação: soma de duas funções)

$C' = ( \frac{(1728)' \times (2y) - (1728) \times (2y)'}{ {(2y)}^{2} } ) + ( \frac{(3 {y}^{2} )' \times (2y) - (3 {y}^{2} ) \times (2y)'}{ {(2y)}^{2} } )$

(Regra de derivação: razão entre duas funções)

$C' = \frac{0 \times 2y - 1728 \times 2}{4 {y}^{2} } + \frac{6y \times 2y - 3 {y}^{2} \times 2}{4 {y}^{2} }$

(Regra de derivação: múltiplas)

$C' = - \frac{864}{ {y}^{2} } + \frac{3}{2}$

(Simplificação)

Enfim, chegamos à derivada. Agora, analisamos o sinal de C'(y).

Para valores de y < -24, a função derivada tem sinal positivo, logo a função C(y) é crescente.

Para valores de y > 24, a função derivada tem sinal positivo, logo a função C(y) é crescente.

Para valores de -24 < y < 24, a função derivada tem sinal negativo, logo a função C(y) é decrescente.

(O domínio da função derivada é o conjunto R - {0} ).

Com isso, sabemos que para valores de y > 0, vamos ter uma "parábola" com concavidade para cima (nossa hipótese estava correta). Podemos, então, calcular o valor de mínimo local.

Ym = 24

Vamos calcular C(y), para Ym.

$C (24) = \frac{1728 + 3 \times {24}^{2} }{2 \times 24}$

$C(24) = 72$

Nós poderíamos continuar os cálculos para fazer o esboço do gráfico, mas já encontramos o que queríamos, o valor de mínimo local, que representa o custo mínimo da construção do muro.

(OBS: nós ignoramos o lado negativo da função C(y) porque não existe dimensão negativa).

Ou seja, o perímetro do jardim será igual a 72 metros de muro, multiplicando pelo preço gasto com o metro do muro teríamos o preço da construção do muro. Mas queremos as dimensões do mesmo.

Como Ym = 24 (a base do retângulo mede 24), podemos encontrar a outra dimensão usando a fórmula da área.

$x = \frac{432}{y}$

$x = \frac{432}{24} = 18$

As dimensões do retângulo serão 18 X 24 m.

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Resposta: 18 X 24 metros

Qualquer dúvida, comente aí...

Espero ter ajudado!