Question

quais desses numeros sao quadrados perfeitos: 2²², (2²)² ou 22²? Justifique sua reposta

Answer 1

Um número é um quadrado perfeito se sua raiz quadrada é um número inteiro, ou, equivalentemente, se é o quadrado de um número inteiro

Sabendo que, para x > 0, $\mathsf{\sqrt{x^{n}}=x^{n/2}}$, podemos concluir que os três números são quadrados perfeitos:

$\bullet\,\,\mathsf{\sqrt{2^{22}}=2^{22/2}=2^{11}}$

Como 2 é inteiro, 2¹¹ é inteiro, logo 2²² é um quadrado perfeito (pois sua raiz é inteira)

$\bullet\,\,\mathsf{\sqrt{(2^{2})^{2}}=\big[(2^{2})^{2}\big]^{1/2}=(2^{2})^{2/2}=(2^{2})^{1}=2^{2}=4\in\mathbb{Z}}$

Como 4 é inteiro, temos que (2²)² é um quadrado perfeito.

$\bullet\,\,\mathsf{\sqrt{22^{2}}=22^{2/2}=22^{1}=22\in\mathbb{Z}}$

Como 22 é inteiro, temos que 22² é um quadrado perfeito.