Question

Quais das seguintes funções são soluções da equação diferencial y'' - y = 0?

(I) y(x) = ex

(II) y(x) = senx

(III) y(x) = 4e-x

(IV) y(x) = (1/2)x2 + 1

Answer 1

(I) Se $y(x) = e^x$, tem-se $y''(x) = e^x$, donde $y'' - y = 0$. Logo, é solução da equação.

(II) Se $y(x) = \sin x$, tem-se $y''(x) = -\sin x$, donde $y'' \neq y$. Logo, não é solução da equação.

(III) Se $y(x) = 4e^{-x}$, tem-se $y''(x) = 4e^{-x}$, donde $y'' -y = 0$. Logo, é solução da equação.

(IV) Se $y(x) = \dfrac{x^2}{2}+1$, tem-se $y''(x) = 1$, donde $y'' \neq y$. Logo, não é solução da equação.

De facto, resolvendo a equação, por exemplo, introduzindo o operador $D$, tem-se:

$y'' - y = 0 \iff D^2y - y = 0 \iff (D^2-1)y = 0 \iff (D-1)(D+1)y = 0.$

O polinómio característico tem os seguintes zeros:

$(\lambda-1)(\lambda+1) = 0 \iff \lambda = \pm 1.$

Como são ambos reais, sabemos que as soluções são combinações lineares de $e^x$ e $e^{-x}$, isto é:

$y(x) = Ae^x + Be^{-x}, \qquad \textrm{com } A, B \in \mathbb{R},$

o que se verifica, tal como antes, apenas nos casos (I) e (III).