Question

Quais as soluções da função do segundo grau a seguir: x2 − x − 20 = 0?

a) x1 = 5, x2 = -4.

b) x1= 3, x2 = 6.

c) x1 = 7, x2 = 5.

d) x1 = 5, x2 = 2. ​

Answer 1

As raízes da equação x² -x -20=0 são:

As raízes da equação x² -x -20=0 são:x1=5 e x2= -4 (letra a)

Existem pelo menos três formas de resolver esta questão:

1) por bháskara

1) por bháskara2) por completamento de quadrados

1) por bháskara2) por completamento de quadrados3) usando a regrinha de soma e produto

Eu irei resolver utilizando os métodos (2) e (3) já que a fórmula de bhaskara (1)é a solução final do método de completar quadrados (3).

Seja a função:

y(x) = x² - x - 20

Para y(x) = 0, encontramos as raízes da função: $x^2 - x - 20 = 0$

Usando a regra de soma e produto:

a equação é da forma $ax² + bx + c=0$ com $a=1$

Então a equação pode ser escrita como:

$(x-x_1)(x-x_2)=0\implies x^2+(x_1+x_2)x + (x_1\cdot x_2)=0$

Portanto $b = x_1+x_2$ e $c = x_1\cdot x_2$

Agora precisamos chutar valores que façam isto ser verdade.

Observando $(x-x_1)(x-x_2)=x^2 - x - 20$ vemos que:

se $x_1=-4$ e $x_2 = 5$ teremos $(x+4)(x-5)=x^2 - x - 20$

(repare que (x - (-4)) troca o sinal para positivo)

Assim encontramos a resposta: x1=5 e x2= -4

Agora, usando a técnica de completamento de quadrados.

Temos a função $x^2 - x - 20 = 0$

Nesta técnica, você precisa reparar que:

(x-1/2)² = x² -x + 1/4

x² - x = (x-1/2)² -1/4

Agora repare na função original e substitua (x² - x) por ((x-1/2)² -1/4)

x² - x - 20 = (x-1/2)² -1/4 -20 = 0

Resta agora resolver para x e encontraremos as raízes:

(x -1/2)² -1/4 -20 = 0

(x -1/2)² (-1 -80)/4 = 0

(x -1/2)² = 81/4

Tomando a raiz quadrada nos dois lados:

x -1/2 = ±9/2

As raízes são:

x1 = 1/2 +9/2 = 5

x2 = 1/2-9/2 = -4