Quais as raízes da equação (×^-225=0)
Soluções para a tarefa
x² = 225
x = √225
x' = 15 ou x" = -15
Espero ter ajudado ;)
Boa tarde, Iara! Segue a resposta com algumas explicações.
Resolução:
Observação 1: Na resolução, será considerado como conjunto universo o conjunto dos números reais (R), em razão de o exercício não haver indicado nada a respeito.
Observação 2: Em uma equação do segundo grau, o procedimento habitual é calcular o discriminante e, posteriormente, aplicar a fórmula de Bhaskara. A equação fornecida pelo exercício está incompleta (b = 0), conforme analisado abaixo, a partir da comparação com a forma genérica da equação do segundo grau:
ax² + bx + c = 0
x² - 225 = 0
Coeficientes: a = 1, b = 0, c = (-225)
A incompletude da equação fornecida pelo exercício torna desnecessária a obtenção do discriminante e a aplicação de Bhaskara. Entretanto, independentemente desta observação, a resolução apresentará as duas formas de obtenção das raízes:
1ª FORMA: Dispensando-se o cálculo do discriminante da aplicação da fórmula de Bhaskara:
x² - 225 = 0 (Passa-se o termo -225 ao segundo membro (lado) da equação, alterando o seu sinal.)
x² = 225 =>
x = √225
→Para facilitar a determinação de √225, faz-se a sua decomposição em fatores primos:
225 | 3
75 | 3
25| 5
5 | 5
1 | 3 . 3 . 5 . 5 = 3² . 5²
→Retomando a equação x = √225 e nela substituindo 225 = 3².5²:
x = √225 =>
x = √(3².5²) (Os parênteses indicam que as duas potenciações estão sob a raiz. Note que os expoentes 2 se anulam com o índice 2 da raiz.)
x = +- 3.5 =>
x' = +15
x'' = -15
Observação 3: Os dois valores finais para x devem ser considerados, porque:
x' = +15 => (+15) . (+15) = 225
x'' = -15 => (-15) . (-15) = 225 (Lembre-se da regra de sinais da multiplicação: dois sinais iguais resultam sempre em sinal de positivo. Assim, (-15).(-15)=(15).(15)=225.)
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2ª FORMA: Calculando-se o discriminante e aplicando a fórmula de Bhaskara:
Observação 4: Os coeficientes, tal como visto na Observação 2 supracitada, são:
a = 1, b = 0, c = (-225)
(I)Cálculo do discriminante, utilizando-se dos coeficientes:
Δ = b² - 4 . a . c =>
Δ = (0)² - 4 . 1 . (-225) =>
Δ = 0 - 4 . (-225) (Aplicação da regra de sinais da multiplicação na parte destacada: dois sinais iguais resultam sempre em sinal de positivo.)
Δ = 0 + 900 (Aplicação da regra de sinais da multiplicação na parte destacada: dois sinais diferentes resultam sempre em sinal de negativo.)
Δ = 900
(II)Aplicação da fórmula de Bhaskara, utilizando-se dos coeficientes e do discriminante:
x = -b +- √Δ / 2 . a =>
x = -(0) +- √900 / 2 . 1 =>
x = -0 +- 30 / -2 => x' = 0 + 30 / 2 = 30/2 => x' = 15
x'' = 0 - 30 / 2 = -30/2 => x'' = -15
RESPOSTA: As raízes da equação x²-225=0 são +15 e -15.
Outras formas de indicar a resposta: S={x E R / x = +15 ou x = -15} (leia-se "o conjunto-solução da equação é x pertence ao conjunto dos números reais, tal que x é igual a quinze ou x é igual a menos quinze") ou S={-15, 15}.
DEMONSTRAÇÃO (PROVA REAL) DE QUE AS RAÍZES DA EQUAÇÃO VALEM +15 e -15
-Substituindo x' = 15 na equação fornecida no exercício, verifica-se que a igualdade será mantida, confirmando-se que esta é uma das raízes da equação:
x² - 225 = 0 =>
(15)² - 225 = 0 =>
225 - 225 = 0 =>
0 = 0 (Provado que 15 é raiz da equação.)
-Substituindo x'' = -15 na equação fornecida no exercício, verifica-se que a igualdade será mantida, confirmando-se que esta é uma das raízes da equação:
x² - 225 = 0 =>
(-15)² - 225 = 0 (Pela regra de sinais da multiplicação, afirma-se que uma base negativa elevada a um expoente par sempre resultará em um número positivo.)
225 - 225 = 0 =>
0 = 0 (Provado que -15 é raiz da equação.)
Espero haver lhe ajudado e bons estudos!