Question

Quais as equações das retas tangentes à circunferência x²+y²- 4x - 2y+1 =0 e que passam pelo ponto de intersecção das retas x – y – 3 = 0 e 2x +y + 1 = 0

Answer 1

$\bullet\;\;$ Encontrar a equação reduzida da circunferência e extrair as coordenadas do centro e a medida do raio:

$C:\;x^{2}+y^{2}-4x-2y+1=0\\ \\ C:\;x^{2}-4x+y^{2}-2y+1=0$


Para completar o quadrado no lado esquerdo, Adicionamos $4$ aos dois lados da igualdade:

$C:\;x^{2}+y^{2}-4x-2y+1=0\\ \\ C:\;x^{2}-4x+\mathbf{4}+y^{2}-2y+1=\mathbf{4}\\ \\ C:\;(x^{2}-4x+4)+(y^{2}-2y+1)=4\\ \\ C:\;(x-2)^{2}+(y-1)^{2}=4$


O centro é o ponto $(2;\,1);$

o raio mede $r=2\text{ u.c.}$


$\bullet\;\;$ Encontrar o ponto de intersecção entre as retas:

$\left\{ \begin{array}{c} x-y-3=0\\ \\ 2x+y+1=0 \end{array} \right.$


Isolando $y$ na primeira equação e substituindo na segunda, temos

$y=x-3\\ \\ \\ 2x+(x-3)+1=0\\ \\ 3x-2=0\\ \\ 3x=2\\ \\ x=\frac{2}{3}$


Encontrando $y,$

$y=x-3\\ \\ y=\frac{2}{3}-3\\ \\ y=\frac{2-9}{3}\\ \\ y=-\frac{7}{3}$


O ponto de intersecção entre as retas é o ponto $P(\frac{2}{3};\,-\frac{7}{3}).$


$\bullet\;\;$ Encontrar a equação da reta tangente à circunferência $C;$ e que passa pelo ponto $P(\frac{2}{3};\;-\frac{7}{3}):$


Se a reta $t$ passa pelo ponto $P,$ então podemos escrever a equação de $t$ como

$t:\;m(x-x_{_{P}})+(y-y_{_{P}})=0\\ \\ t:\;m(x-\frac{2}{3})+(y+\frac{7}{3})=0$

(note que as coordenadas do ponto $P$ satisfazem à equação da reta $t$).


Como $t$ é tangente à circunferência $C,$ então a distância entre o centro de $C$ até a reta $t$ é igual ao raio $r:$


Fórmula da distância do ponto à reta:

$d_{_{C,\,t}}=r\\ \\ \dfrac{\left|m(x_{_{C}}-\frac{2}{3})+(y_{_{C}}+\frac{7}{3})\right|}{\sqrt{m^{2}+1}}=r\\ \\ \\ \dfrac{\left|m(2-\frac{2}{3})+(1+\frac{7}{3})\right|}{\sqrt{m^{2}+1}}=2\\ \\ \\ \dfrac{\left|m(\frac{6-2}{3})+(\frac{3+7}{3})\right|}{\sqrt{m^{2}+1}}=2\\ \\ \\ \dfrac{\left|\frac{4}{3}\,m+\frac{10}{3}\right|}{\sqrt{m^{2}+1}}=2\\ \\ \\ \dfrac{\left|\frac{4m+10}{3}\right|}{\sqrt{m^{2}+1}}=2\\ \\ \\ \dfrac{\left|\frac{2}{3}\,(2m+5)\right|}{\sqrt{m^{2}+1}}=2\\ \\ \\ \left|\frac{2}{3}\,(2m+5)\right|=2\sqrt{m^{2}+1}$


Elevando os dois lados ao quadrado, temos

$\left|\frac{2}{3}\,(2m+5)\right|^{2}=(2\sqrt{m^{2}+1})^{2}\\ \\ \frac{4}{9}\,(2m+5)^{2}=4(m^{2}+1)\\ \\ \frac{4}{9}\,(4m^{2}+20m+25)=4(m^{2}+1)\\ \\ \frac{1}{9}\,(4m^{2}+20m+25)=m^{2}+1\\ \\ 4m^{2}+20m+25=9(m^{2}+1)\\ \\ 4m^{2}+20m+25=9m^{2}+9\\ \\ 4m^{2}-9m^{2}+20m+25-9=0\\ \\ -5m^{2}+20m+16=0\\ \\ 5m^{2}-20m-16=0\;\;\;\Rightarrow\;\;\left\{ \begin{array}{l} a=5\\ b=-20\\ c=-16 \end{array} \right.$


$\Delta=b^{2}-4ac\\ \\ \Delta=(-20)^{2}-4\cdot 5\cdot (-16)\\ \\ \Delta=400+320\\ \\ \Delta=720\\ \\ \Delta=2^{4}\cdot 3^{2}\cdot 5\\ \\ \\ m=\dfrac{-b\pm \sqrt{\Delta}}{2a}\\ \\ \\ m=\dfrac{-(-20)\pm \sqrt{2^{4}\cdot 3^{2}\cdot 5}}{2\cdot 5}\\ \\ \\ m=\dfrac{20\pm 2^{2}\cdot 3\sqrt{5}}{2\cdot 5}\\ \\ \\ m=\dfrac{20\pm 12\sqrt{5}}{2\cdot 5}\\ \\ \\ m=\dfrac{\diagup\!\!\!\! 2\cdot (10\pm 6\sqrt{5})}{\diagup\!\!\!\! 2\cdot 5}\\ \\ \\ m=\dfrac{10\pm 6\sqrt{5}}{5}$


Então as equações das retas tangentes são

$t:\;(\frac{10\pm 6\sqrt{5}}{5})\,(x-\frac{2}{3})+(y+\frac{7}{3})=0\\ \\ \\ t:\;y+\frac{7}{3}=(\frac{-10\mp 6\sqrt{5}}{5})\,(x-\frac{2}{3})\\ \\ \\ \boxed{\begin{array}{c} t_{1}:\;y+\frac{7}{3}=(\frac{-10-6\sqrt{5}}{5})\,(x-\frac{2}{3})\\ \\ t_{2}:\;y+\frac{7}{3}=(\frac{-10+6\sqrt{5}}{5})\,(x-\frac{2}{3}) \end{array}}$