Question

Quais as coordenadas dos pontos em que a reta r, de equação y = 6 - x, intersecta a circunferência de equação    x2 + y2 –2x – 12 = 0? ​

Answer 1

$\displaystyle \sf y = 6-x \\\\ x^2+y^2-2x-12=0\\\\ \underline{substituindo \ o \ y\ da\ reta\ na\ equa{\c c}{\~a}o \ da \ circunfer{\^e}ncia}: \\\\ x^2+(6-x)^2-2x-12=0 \\\\ x^2+36-12x+x^2-2x-12=0 \\\\ 2x^2-14x+24=0 \to x^2-7x+12=0 \\\\\\ x = \frac{-(-7)\pm\sqrt{(-7)^2-4\cdot 1\cdot 12}}{2\cdot 1}\\\\\\ x=\frac{7\pm\sqrt{49-48}}{2}\to x=\frac{7\pm\sqrt{1}}{2}\\\\\\ x=\frac{7\pm1}{2} \to x=4\ , \ x = 3}$

Achando as coordenadas dos pontos de intersecção :

$\sf y = 6-x \ \ ,\ \ x = 4 \ \to \ \ y = 6-4 \to y = 2 \to (4,2) \\\\ y=6-x \ \ ,\ \ x = 3\to y = 6-3 \to y=3 \to (-3,9)$

Portanto os pontos de intersecção são :

$\huge\boxed{\sf (4,2) \ e\ (3,3) }\checkmark$

Answer 2

Resposta:

resposta:         I' = (3, 3)      e    I'' = (4, 2)

Explicação passo a passo:

Para encontrar os pontos de interseção entre a reta e a circunferência devemos resolver o seguinte sistema de equações:

1ª           $x^{2} + y^{2} - 2x - 12 = 0$

2ª          $y = 6 - x$

Substituindo o valor de "y" na 1ª equação, temos:

        $x^{2} + (6 - x)^{2} - 2x - 12 = 0$

$x^{2} + 36 - 12x + x^{2} - 2x - 12 = 0$

                      $2x^{2} - 14x + 24 = 0$

Calculando o valor do delta, temos:

Δ $= b^{2} - 4.a.c = (-14)^{2} - 4.2.24 = 196 - 192 = 4$

Aplicando a fórmula de Bhaskara, temos:

$x = \frac{-b +- \sqrt{delta} }{2.a} = \frac{-(-14) +- \sqrt{4} }{2.2} = \frac{14 +- 2}{4}$

$x' = \frac{14 - 2}{4} = \frac{12}{4} = 3$

$x'' = \frac{14 + 2}{4} = \frac{16}{4} = 4$

Portanto, as abscissas dos pontos de interseção são:

        S = {3, 4}

Agora, devemos encontrar as ordenadas dos pontos de interseção. Para isso, devemos substituir os valores das abscissas na 2ª equação. Então:

$x' = 3 => y' = 6 - x' => y' = 6 - 3 = 3$

$x'' = 4 => y'' = 6 - x'' => y'' = 6 - 4 = 2$

Portanto, os pontos de interseções são:

                  $I' = (x', y') = (3, 3)$

                  $I'' = (x'', y'') = (4, 2)$

Saiba mais:

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Veja também a solução gráfica da questão: