Question

Quais as coordenadas do centro de uma circunferência de raio unitário tangenciada em dois pontos pela função y = x^2?

Answer 1

1) Note que la gráfica de la parábola es simétrica al eje Y, por ende la circunferencia también ha de ser simétrica al eje Y, por ende su ecuación es de la forma

                                      $x^2+(y-k)^2=1$

2) Sea $T=(a,a^2)$ uno de los puntos de tangencia de ambas curvas, hallemos la pendiente en ese punto

2.1) Para la parábola: $m=\left.\dfrac{dy}{dx}\right|_{x=a}=2a$

2.2) Para la circunferencia

$x^2+(y-k)^2=1\\ \\ \texttt{derivaci\'on impl\'icita: }\\ \\ 2x+2(y-k)y'=0\\ \\ y'=\dfrac{x}{k-y}\\ \\ \\ \left.\dfrac{dy}{dx}\right|_{x=a}=\dfrac{a}{k-a^2}$

3) Como la tangente es común las pendientes son iguales

$2a=\dfrac{a}{k-a^2}\\ \\ \\ k-a^2=\dfrac{1}{2}\\ \\ \\ k=a^2+\dfrac{1}{2}$

4) $T\in \{(x,y):x^2+(y-k)^2=1\}$

$x^2+\left(y-a^2-\dfrac{1}{2}\right)^2=1\\ \\ \\ a^2+\left(a^2-a^2-\dfrac{1}{2}\right)^2=1\\ \\ \\ a^2+\dfrac{1}{4}=1\\ \\ \\ \boxed{a^2=\dfrac{3}{4}}$


5) Finalmente $k=a^2+\dfrac{1}{2}=\dfrac{3}{4}+\dfrac{1}{2}=\dfrac{5}{4}$

Por ende la ecuación de la circunferencia es

                $\boxed{\boxed{x^2+\left(y-\dfrac{5}{4}\right)^2=1}}$