Quadrados iguais são cortados de cada canto de um pedaço retangular de cartolina, medindo 8 cm de largura e 15 cm de comprimento. Uma caixa sem tampa é construída virando os lados para cima. Determine o comprimento dos lados dos quadrados que devem ser cortados para a produção de uma caixa de volume máximo.
Soluções para a tarefa
Vamos considerar que cada lado do quadrado mede x. Dessa forma, cortando os quadrados de cada canto do papelão retangular, a base retângulo terá as seguintes medidas: (15 - 2x) e (8 - 2x). Enquanto isso, os pedaços fora da base que sobram terão a dimensão x e serão a altura da caixa quando levantados.
Com esses dados, podemos calcular o volume, utilizando a seguinte equação:
V = Ab × h, onde Ab é a área da base e h é a altura. Substituindo na equação, temos:
V = (15 - 2x) × (8 - 2x) × x
V = (120 - 46x + 4x²) × x
V = 4x³ - 46x² + 120x
Para determinar o máximo de uma função, devemos calcular sua derivada e igualar o valor a zero. Então:
V' = 12x² - 92x + 120
12x² - 92x + 120 = 0
Assim, formamos uma equação do segundo grau, que possui as seguintes raízes:
x' = 6
x" = 5/3
Por se tratar de uma equação de terceiro grau, um desses valores é o máximo da função e o outro é o mínimo. Substituindo na equação do volume esses dois valores, temos:
V(6) = 4 × 6³ - 46 × 6² + 120 × 6
V(6) = -72
V(5/3) = 4 × (5/3)³ - 46 × (5/3)² + 120 × (5/3)
V(5/3) = 90,74
Portanto, para que o volume seja máximo, a dimensão cortada deve ser: x = 5/3 cm.