Question

Q4. Determine todos os valores de a de modo que a função f(x) seja contínua em R.

f(x) = x+1, se x ≤ a
x^2, se x > a​

Answer 1

Como y = x+1 é continua em todos reias e y = x² é continua em todos reais, para que a f(x) seja continua em todos Reais, temos que garantir que seja continua em "a".

Para que seja continua, além de existir o limite em "a", f(x) deve estar definida em "a" (o enunciado já nos garantiu isso) e f(a) deve ser igual ao limite de f(x) quando x tende a "a".

$\lim\limits_{x \to a}f(x)~=~f(a)$

Vamos começar determinando f(a):

$f(x)~=~x+1\\\\\\\boxed{f(a)~=~a+1}$

Podemos agora determinar o limite da função f(x).

Como f(x) é definida em partes, vamos tomar os limites laterais.

$Pela~esquerda:~~\lim\limits_{x \to a^{-}}x+1~=~\boxed{a+1}\\\\\\Pela~direita:~~\lim\limits_{x \to a^{+}}x^2~=~\boxed{a^2}$

Para que exista o limite, os limites laterais devem ser iguais e, como queremos que seja continua, estes limites laterais serão também iguais a f(a).

$f(a)~=~\lim\limits_{x \to a^{-}}x+1~=~\lim\limits_{x \to a^{-}}x^2\\\\\\a+1~=~a+1~=~a^2\\\\\\Como~a+1~=~a+1~\acute{e}~verdade~para~qualquer~"a",~resumimos~a~equacao:\\\\\\a+1~=~a^2\\\\\\a^2-a-1~=~0\\\\\\\Delta~=~(-1)^2-4.1.(-1)~=~5\\\\\\a'~=~\frac{1+\sqrt{5}}{2~.~1}~=~\boxed{\frac{1+\sqrt{5}}{2}}\\\\\\a''~=~\frac{1-\sqrt{5}}{2~.~1}~=~\boxed{\frac{1-\sqrt{5}}{2}}$

Sendo assim, f(x) será continua em todos Reais para "a" igual a a' ou a''.