Q1. A reta suporte do lado AB do triângulo ABC é definida pela equação r: -2x + y = 0, a mediana relativa ao lado AB está contida na reta x + 4y = 18 eo vértice B coincide com as coordenadas do primeiro quadrante (a + 1, a? + 2). Sabendo que a reta s: - x - y = -9, concorrente com r, passa por um lado de ABC,
A) determine a medida do lado que não está contido em s.
B) Qual deve ser a medida da área e do perimetro do triângulo ABC?
Soluções para a tarefa
A medida dos lados que não estão contidos em s são 2√5 e √26; O perímetro do triângulo ABC é 3√2 + 2√5 + √26 e a área é 9.
a) Se o ponto B é igual a B = (a + 1, a² + 2) e pertence à reta -2x + y = 0, então:
-2(a + 1) + a² + 2 = 0
-2a - 2 + a² + 2 = 0
a² - 2a = 0
a(a - 2) = 0
a = 0 ou a = 2.
Observe que para os dois valores o ponto B estará no primeiro quadrante. Vamos considerar que a = 0. Assim, B = (1,2).
A interseção entre as retas -x - y = -9 e -2x + y = 0 nos dará o ponto A.
Sendo y = 2x, temos que:
-x - 2x = -9
-3x = -9
x = 3.
Consequentemente, y = 6. Logo, A = (3,6).
A interseção entre as retas -x - y = -9 e x + 4y = 18 nos dará o ponto C.
Sendo x = 18 - 4y, temos que:
-(18 - 4y) - y = -9
-18 + 4y - y = -9
3y = 9
y = 3.
Consequentemente, x = 6. Logo, C = (6,3).
Os lados que não estão contido em s são AB e BC.
A medida do lado AB é:
d² = (3 - 1)² + (6 - 2)²
d² = 2² + 4²
d² = 4 + 16
d² = 20
d = 2√5.
A medida do lado BC, é:
d² = (1 - 6)² + (2 - 3)²
d² = (-5)² + (-1)²
d² = 25 + 1
d² = 26
d = √26.
b) A medida do lado AC, é:
d² = (3 - 6)² + (6 - 3)²
d² = (-3)² + 3²
d² = 9 + 9
d² = 18
d = 3√2.
Portanto, o perímetro do triângulo ABC é 3√2 + 2√5 + √26.
Para a área do triângulo, vamos determinar os vetores AB e AC:
AB = (1,2) - (3,6)
AB = (-2,-4)
e
AC = (6,3) - (1,2)
AC = (5,1).
Calculando o determinante da matriz , obtemos:
det = (-2).1 - 5.(-4)
det = -2 + 20
det = 18.
Portanto, a área é igual a:
S = 18/2
S = 9 u.a.
Exercício de triângulo: https://brainly.com.br/tarefa/137445
