Question

Q.2 (2.00) - Denomina-se traço da matriz a soma

dos elementos da diagonal principal. Determine o

traço da matriz A=(aij)4x4 com


a) ( ) 1

b) ( -1

c) ( 0

d) ( ) 2

Answer 1

Matrizes é um assunto muito interessante, e envolvendo traço fica ainda mais divertido.

Este problema é facilmente resolvido da seguinte forma:

1) A diagonal principal de uma matriz é constituída de elementos com i e j iguais.

Agora preste atenção, pois eu irei explicar de maneira simples.

- em primeiro lugar, quero fazer uma breve revisão de matrizes:

$A=(a_{ij})_{4x4} = \left[\begin{array}{cccc}a_{11}&a_{12}&a_{13}&a_{14}\\a_{21}&a_{22}&a_{23}&a_{24}\\a_{31}&a_{32}&a_{33}&a_{34}\\a_{41}&a_{42}&a_{43}&a_{44}\end{array}\right]$  -> Irei utilizar esta representação para guiar a construção da matriz.

- Veja que a diagonal principal é composta pelos elementos $a_{11},\ a_{22},\ a_{33},\ a_{44}$

- O enunciado dá a definição de traço, que é a soma dos elementos da diagonal principal de uma matriz, portanto, o traço da matriz A é:

$tr(A)=a_{11}+a_{22}+a_{33}+a_{44}$

- Então, precisamos saber apenas os elementos em que i=j.

- Segundo o enunciado, a construção de A é dada por:

$a_{ij} = i^2-2ij+j^2=(i-j)^2\ se\ i\geq j\\\\a_{ij}=i^3-j^3\ se\ i<j$

- Então:

$para\ i=j,\ temos\ a_{ij}=(i-j)^2\\\\como\ i=j,\ logo\ a_{ij}=0\\\\Assim,\ tr(A)=0+0+0+0=0$

Resposta: C