Question

Q. 18 ► O mostrador de um relógio foi projetado na forma de um decágono (polígono de 10 lados) regular, como mostra a figura. Sabendo que cada um de seus lados mede 8 cm, DETERMINE A ÁREA TOTAL DO MOSTRADOR.

Answer 1

O decágono pode ser decomposto em dez triângulos isósceles, cuja base é um lado do decágono. (Veja figura em anexo com o triângulo).

Na figura, o ângulo $\theta$ tem medida igual à metade de um dos ângulos internos do decágono regular:

$\theta=\dfrac{A_i}{2}\\\\\\ \theta=\dfrac{180^\circ-\frac{360^\circ}{10}}{2}\\\\\\ \theta=\dfrac{180^\circ-36^\circ}{2}\\\\\\ \theta=\dfrac{144^\circ}{2}\\\\\\ \theta=72^\circ$


•    Encontrando a altura $h$ do triângulo isósceles:

$\dfrac{h}{4}=\mathrm{tg\,}\theta\\\\\\ h=4\,\mathrm{tg\,}\theta\\\\ h=4\,\mathrm{tg\,}72^\circ\\\\ h\approx 4\cdot 3,077\\\\ h\approx 4\cdot 3,078\\\\ \boxed{\begin{array}{c}h\approx 12,\!31\mathrm{~cm} \end{array}}$


•   Encontrando a área de um triângulo equilátero:

$A_{\triangle}=\dfrac{b\cdot h}{2}\\\\\\ A_{\triangle}=\dfrac{8\cdot 4\,\mathrm{tg\,}72^\circ}{2}\\\\\\ A_{\triangle}=\dfrac{32\cdot\mathrm{tg\,}72^\circ}{2}\\\\\\ A_{\triangle}=16\,\mathrm{tg\,}72^\circ\mathrm{~cm^2}$


•   Como o decágono é composto por dez triângulos idênticos ao da figura em anexo, a área total do mostrador é

$A=10\cdot A_{\triangle}\\\\ A=10\cdot 16\,\mathrm{tg\,}72^\circ\\\\ A=160\,\mathrm{tg\,}72^\circ\\\\ A\approx 160\cdot 3,\!078$

$\boxed{\begin{array}{c}A\approx 492,42\mathrm{~cm^2} \end{array}}$   <———    esta é a resposta.


Dúvidas? Comente.


Bons estudos! :-)

Answer 2

S = pa  onde "p" ⇒ semi perímetro e "a"⇒ apótema decágono
a = ___l___  onde "α" ângulo central que subtende lado decágono
       2tg(α/2)
α  ⇒ ângulo de 36° ⇒ (360°/10 = 36°)
a = ___l___  onde "l" ⇒ lado do decágono
        2tg18°
a =   ____8__  ⇒ a = __8__ ⇒ a ≈ 12,3107
         2×0,3249          0,6498
S = 40×12,3107 ⇒ S = 492,4293cm²