Question

(Pucrj 2015) Sabendo que pi < x < 3pi/2 e sen (x)= -1/3, é correto afirmar que sen (2x) é:

A) -2/3
B) -1/6
C) √3/8
B) 1/27
E) 4√2/9

Answer 1

Para encontrar a fórmula do arco duplo para o seno, temos que saber também da fórmula da adição de arcos para o seno, dada por:

$\star \: \sf \sin(a + b) = \sin(a) . \cos(b) + \sin(b) . \cos(a) \: \star$

A questão quer saber o seno (2x), mas você concorda comigo que seno (2x) pode ser escrito como:

$\sf \sin(x + x)$

Isso é bem familiar com a fórmula de adição de arcos, então vamos usar o mesmo princípio:

$\sf \sin(x + x) = \sin(x) . \cos(x) + \sin(x) . \cos(x) \\ \star \: \sf \sin(x + x) =2 \sin (x) . \cos(x) \: \star$

Essa é a fórmula que vamos usar para e encontrar o seno de "2x".

Agora que eu notei que devemos achar o cosseno também, para isso basta substituir o valor do seno na relação fundamental da trigonometria, dada por:

$\star \: \sf \sin {}^{2} (x) + \cos {}^{2} (x) = 1 \: \star$

Substituindo e calculando:

$\sf( - \frac{1}{3} ) {}^{2} + \cos {}^{2} (x) = 1 \\ \\ \sf \frac{1}{9} + \cos {}^{2} (x) = 1 \\ \\ \sf \cos {}^{2} (x) = 1 - \frac{1}{9} \\ \\ \sf \cos {}^{2} (x) = \frac{9 - 1}{9} \\ \\ \sf \cos {}^{2} (x) = \frac{8}{9} \\ \\ \sf \cos(x) = \pm \sqrt{ \frac{8}{9} } \\ \\ \ \sf\cos(x) = \pm \frac{2 \sqrt{2} }{3}$

A questão nos diz que o "x" está no intervalo de 180° a 270°, ou seja, no terceiro quadrante onde o cosseno é negativo, então despreze o valor positivo, assim ficando com:

$\boxed{ \sf \cos(x) = - \frac{2 \sqrt{2} }{3} }$

Por fim é só substituir na fórmula que encontramos no começo da questão:

$\sf \sin(2x) = 2 \sin(x) . \cos(x) \\ \sf \sin(2x) = 2. - \frac{1}{3} . - \frac{2 \sqrt{2} }{3} \\ \sf \sin(2x) = 2. \frac{2 \sqrt{2} }{9} \\ \boxed{ \sf\sin(2x) = \frac{4 \sqrt{2} }{9} }$

Portanto temos que a resposta é a letra e).

Resposta: letra e)

Espero ter ajudado

Answer 2

Resposta:

Explicação passo a passo:

Como π < x < 3π/2, x pertence ao quadrante III e tanto sen x quanto cos x são negativos.

sen² x + cos² x = 1

(- 1/3)² + cos² x = 1

1/9 + cos² x = 1

cos² x = 1 - 1/9

cos² x = 8/9

cos x = - (√8)/3

cos x = - (2√2)/3

Queremos sen 2x:

sen 2x = 2.sen x.cos x

sen 2x = 2.(- 1/3).(- 2√2/3)

sen 2x = (4√2)/9.