Question

(PUCPR) Sejam “x1” e “x2” números reais, zeros da equação (2-k).x^2 +4.k.x+k+1=0.
Se x1 > 0 e x2 < 0, deve-se ter

a) k>0
b) 0 < k < 3
c) k < -1 ou k > 2
d) -1 < k < 2
e) k > 2

Answer 1

$(2-k)x^{2} + 4kx + k + 1 = 0$

Essa é uma equação quadrática, para ela possuir duas raízes reais e distintas, o seu Δ deve ser maior que 0:

$\Delta \ \textgreater \ 0$

$b^{2} - 4ac \ \textgreater \ 0$

Substituindo os coeficientes da equação:

$(4k)^{2} -4(2 - k)(k + 1) \ \textgreater \ 0$

$16k^{2} -4(k + 2 -k^{2} ) \ \textgreater \ 0$

$16k^{2} -4k -8 + 4k^{2}  \ \textgreater \ 0$

$20k^{2} -4k -8 \textgreater \ 0$

$5k^{2} -k -2 \textgreater \ 0$

As raízes dessa equação são:

$\frac{1 \pm \sqrt{41} }{10}$

Essa equação assume no plano cartesiano, uma concavidade para cima, isso implica que, os valores entre suas raízes dão resultados negativos e nós só queremos os valores positivos.Coloquei uma imagem em anexo com o gráfico da equação no plano cartesiano, note que todos os valores entre as raízes (y = 0) dão valores negativos.

Logo,

$k \ \textgreater \ \frac{1 + \sqrt{41} }{10}$
e
$k \ \textless \ \ \frac{1 - \sqrt{41} }{10}$

Mas além de tudo isso, as raízes devem ter sinais opostos, uma negativa e outra positiva, isso significa que o seu produto tem que resultar em um numero negativo.

Pela relação de soma e produto temos que x1x2 = c/a , logo, como esse produto tem que ser negativo, c/a < 0

$\frac{c}{a} \ \textless \ 0$

$\frac{k + 1}{2 - k} \ \textless \ 0$

Isso é uma divisão, portanto o denominador (2 - k) não pode ser 0, logo:

$k \neq 2$

e

$k \ \textless \ -1$

Juntando todas as condições temos que:

$k \ \textgreater \ \frac{1 + \sqrt{41} }{10} , k \ \textless \ \ \frac{1 - \sqrt{41} }{10},k \neq 2,k \ \textless \ -1$

Precisamos agora, da solução que seja em comum a todas essas, ou seja, a intersecção.

Na outra imagem que coloquei, tem um exemplo mostrando como chegar nessa resposta, que é k < -1 ou k > 2

Alternativa C.

Answer 2

Olá!
 
    Foi dito que  $x_1\;\;\text{e}\;\;x_2$   são zeros da equação dada. Ou seja, como ela é do segundo grau e tem duas raízes reais, significa que seu discriminante (o delta -  $\Delta$  )  é maior do que zero. Logo,


$\Delta = b^2-4ac = (4k)^2-4(2-k)(k+1) = \\ = 16k^2-4(k+2-k^2) = 20k^2-4k-8.\\ \\ \text{Da\'{\i},}\\ \Delta \ \textgreater \ 0 \Rightarrow 20k^2-4k-8\ \textgreater \ 0.\\ \text{Analisemos a equa\c c\~ao 20k^2-4k-8=0 :}\\ \\ 20k^2-4k-8=0\Leftrightarrow 5k^2-k-2=0\Leftrightarrow \\ \\ \Leftrightarrow k=\dfrac{1\pm\;\sqrt{1+40}}{10}=\dfrac{1\pm\;\sqrt{41}}{10}$

Como esta equação em k tem coeficiente do termo de maior grau positivo, a parábola tem a "boca" para cima e, assim, a parte positiva (que nos dará o  $\Delta$  maior do que zero) está antes de uma e depois da outra, ou seja,


$\Delta \ \textgreater \ 0 \Rightarrow k\in\left]-\infty,\frac{1-\sqrt{41}}{10}\right]\;\;\cup\;\; \left[\frac{1+\sqrt{41}}{10},+\infty\right[\\ \\ \text{Como}\;\;\dfrac{1-\sqrt{41}}{10}\sim-0,5\;\;\;\text{e}\;\;\;\dfrac{1+\sqrt{41}}{10}\sim 0,7,\;\;\text{temos}$

$k\ \textless \ -0,5\;\;\text{ou}\;\;k\ \textgreater \ 0,7$

Note que a alternativa (c) engloba estas opções.


    Portanto,   $k<-1\;\;\text{ou}\;\;k>2.$   Resposta (C).



Bons estudos!