Question

(Pucmg 1997) Considere os conjuntos A = {x ∈ Z / │x + 1│ <5} e B = {x ∈ Z / │x│ >3}. O número de elementos do conjunto A ⋂ B é:
a) 2
b) 4
c) 8
d) 9
e) 11 

Answer 1

Olá!

 Segundo a definição de módulo, temos que:

$\mathsf{|x| = \begin{cases} \mathsf{x, \qquad \qquad \ se \ x \geq 0} \\ \mathsf{- x, \quad \qquad \ \ se \ x < 0}\end{cases}}$

 Isto posto, no conjunto A, fazemos:

$\\ \mathsf{|x + 1| < 5} \\ \mathsf{x + 1 < \pm 5} \rightarrow \begin{cases} \mathsf{x + 1 < 5 \Rightarrow x < 4} \\ \mathsf{x + 1 < - 5 \Rightarrow x < - 6} \end{cases}$

 Estudando o sinal,

_-__________-____(4)__+____
_-___(- 6)___+_________+____
_+___(- 6)___-_____(4)__+____

$\mathsf{Ou \ seja, \ \underline{S_A = \left \{ x \in \mathbb{Z} | - 6 < x < 4 \right \}}.}$


 No conjunto B, teremos:

$\\ \mathsf{|x|>3} \\ \mathsf{x>\pm3} \rightarrow \begin{cases} \mathsf{x>3} \\ \mathsf{x>-3} \end{cases}$

 Estudando o sinal,

_-__________-____(3)__+____
_-___(- 3)___+_________+____
_+___(- 3)___-_____(3)__+____

$\mathsf{Ou \ seja, \ \underline{S_B=\left\{x\in\mathbb{Z}|x<-3\ \vee \ x>3\right\}}.}$

 Logo, finalizamos a questão encontrando a intersecção entre $\mathsf{S_A \ e \ S_B}$. Veja:

__-__(- 6)__+_______+_______+____(4)__-___
__-_______-__(- 3)__+___(3)__-_________-___
__+__(- 6)_-___(- 3)__+___(3)__-____(4)__+___

$\mathsf{Isto \ \acute{e}, \ \boxed{\mathsf{{S_{A \cap B} = \left \{ x \in \mathbb{Z} | - 6 < x < - 3 \ \vee \ 3 < x < 4 \right \}}}}.}$

$\mathsf{Agora, \ ficou \ f\acute{a}cil \ notar \ que \ a \ quantidade \ de \ elementos \ do \ conjunto \ soluc\~ao \ acima \ \acute{e} \ \underline{DOIS}.}$

$\mathsf{Ou \ seja, \ \left \{ - 5, - 4 \right \}.}$

Espero ter ajudado! 

A propósito, trouxera uma boa questão!!