Question

(Puccamp 2020) Em uma competição esportiva com 12
times, cada time jogou exatamente uma vez com cada um dos
outros adversários. O vencedor de uma partida ganhou 3 pontos, o empate deu 1 ponto a cada um dos times e times perdedores não marcaram pontos. No fim da competição, a soma
total dos pontos marcados pelos 12 times foi 188 pontos. O
número de jogos que terminaram empatados foi:

Answer 1

O primeiro time jogou 11 jogos. O segundo também jogou 11, porém contemos 10, pois o jogo com o primeiro time já foi considerado anteriormente. O terceiro jogou 9, pois 2 já foram contados anteriormente. Prosseguindo esse cálculo, temos que o total de jogos é:
$11 + 10 + 9 + \dots + 2 + 1 = 66$

Chamando de $v$ as vitórias e de $e$ os empates, temos que:
$v + e = 66$

Veja que as vitórias estão ligadas às derrotas, pois, se um time ganha, o outro perde, por isso estou desconsiderando as derrotas.
Sabe-se também que o total de pontos é 188, e estes pontos correspondem ao triplo da quantidade de vitórias acrescido do DOBRO da quantidade de empates (pois, em um empate, ambos os times pontuam):
$3v + 2e = 188$

Temos um sistema de equações.
Isolando $v$ na primeira equação:
$v = 66 - e$

Substituindo na segunda:

$3(66-e) + 2e = 188\\198 - 3e + 2e = 188\\-e = -10\\e = 10$

Nem precisamos saber da quantidade de vitórias, $e$ já está ali, que era o valor desejado.

10 empates