Question

(puc-sp) Seja a matriz A=(aij)3x3, tal que

aij= cos 7pi/i se i=j

sen 7pi/j se i diferente de j

Answer 1

Oi Edinei.

Dada primeiramente a Matriz genérica.

$\begin{bmatrix} a11 & a12 & a13 \\ a21 & a22 & a23 \\ a31 & a32 & a33 \end{bmatrix}$

Ele fala que se o i=linha e o j=coluna forem iguais nós teremos 7pi/i.
Pi equivale a 180°.
Fazendo 7 vezes 180 acharemos 1260°. Esse será o nosso numerador. O denominador vai de acordo com o que exercício menciona.
O a11 é igual, então ele será o nosso cosseno de 1260/1, já que o i=1
o a12 e o 13 são diferentes, e eles serão sen de 1260°/2 e 1260°/3 respectivamente, fazendo o restante teremos:

$\begin{bmatrix} cos\frac { 1260 }{ 1 } & sen\frac { 1260 }{ 2 } & sen\frac { 1260 }{ 3 } \\ sen\frac { 1260 }{ 1 } & cos\frac { 1260 }{ 2 } & sen\frac { 1260 }{ 3 } \\ sen\frac { 1260 }{ 1 } & sen\frac { 1260 }{ 2 } & cos\frac { 1260 }{ 3 } \end{bmatrix}$

Simplificando acharemos 1260°,630° e 420°.

Bom, agora é só ir fazendo a diferença de 360° até chegar na primeira determinação positiva.

1260-360-360-360=180°

630-360=270°

420-360=60°

Então nossa matriz é:

$\begin{bmatrix} cos180^{ 0 } & sen270^{ o } & sen60^{ o } \\ sen180^{ o } & cos270^{ o } & sen60^{ o } \\ sen180^{ o } & sen270^{ o } & cos60^{ o } \end{bmatrix}$

Agora temos que saber os ângulos notáveis.

cos180=-1
sen180=0
sen270=-1
cos270=0
sen60=raiz de 3/2
cos60=1/2

Então temos:

$\begin{bmatrix} -1 & -1 & \frac { \sqrt { 3 } }{ 2 } \\ 0 & 0 & \frac { \sqrt { 3 } }{ 2 } \\ 0 & -1 & \frac { 1 }{ 2 } \end{bmatrix}$

Agora é só calcular o determinante pela regra de Sarrus, basta duplicar as duas primeiras colunas e fazer o produto da diagonal principal menos o da secundária.

$D=-1*-1*\frac { \sqrt { 3 } }{ 2 } \\ \\ D=-\frac { \sqrt { 3 } }{ 2 }$