Question

(PUC-SP) Sabe-se que omega é a medida em graus de um dos ângulos internos de um triangulo retângulo.Se sen omega=k+1/2,cos omega=k e a hipotenusa do triangulo mede 20 cm,determine sua área 

Answer 1

Olá, Ildebrando.

Para podermos aplicar as propriedades trigonométricas do triângulo retângulo, devemos saber, primeiro, se, entre os dois ângulos não retos, ω é o maior ou menor.

Como sen ω > cos ω, temos que: sen² ω > cos² ω ⇒ sen² ω - cos² ω > 0 ⇒ 
cos² ω - sen² ω < 0 ⇒ cos 2ω < 0 ⇒ 90º < 2ω < 180º ⇒ 45º < ω < 90º ⇒
ω é, dos ângulos não retos, o maior.

Feitas estas considerações, podemos, então, elaborar o desenho em anexo.
No desenho, podemos observar que a altura h é dada por:

$\cos\omega=\frac h{20}\Rightarrow k=\frac h{20}\Rightarrow h=20k$

Por outro lado, temos que a base b é dada por:

$\text{sen }\omega=\frac b{20}\Rightarrow k+\frac12=\frac b{20}\Rightarrow\\\\ \frac{2k+1}{2}=\frac b{20}\Rightarrow 2b=20(2k+1)\Rightarrow b=10(2k+1)$

A área do triângulo é, portanto:

$\frac{bh}{2}=\frac12\cdot10(2k+1)\cdot20k=\boxed{100k(2k+1)}$

Pela Fórmula Fundamental da Trigonometria, podemos obter o valor de k:

$\text{sen}^2\,\omega+\cos^2\omega=1\Rightarrow (k+\frac12)^2+k^2=1\Rightarrow\\\\ k^2+k+\frac14+k^2-1=0\Rightarrow 2k^2+k-\frac34=0\Rightarrow\\\\ 8k^2+4k-3=0\Rightarrow\Delta=16+96=112\Rightarrow\sqrt\Delta=4\sqrt7\Rightarrow\\\\ k=\frac{-4\pm4\sqrt7}{16}=\frac{-1\pm\sqrt7}{4}=\boxed{\frac{\sqrt7-1}{4}}\text{ (a raiz negativa n\~ao funciona)}$

Substituindo na expressão da área, temos:

$\text{\'Area = }100\cdot\left(\frac{\sqrt7-1}{4}\right)\left[2\left(\frac{\sqrt7-1}{4}\right)+1\right]=\\\\ =25(\sqrt7-1)\left(\frac{\sqrt7-1}2+1\right)=25(\sqrt7-1)\left(\frac{\sqrt7-1+2}2\right)=\\\\ =\frac{25}2\cdot(\sqrt7-1)(\sqrt7+1)=\frac{25}2\cdot(7-1)=\\\\ =\boxed{75}$