Question

(PUC-SP) Qual é o resto da divisão de $x^{31} + 31$ por x + 1?
a) 0
b) 1
c) 30
d) 31
e) um polinômio de grau 30

Answer 1

Questão de divisão de polinômio por binômio de grau 1. Essas são clássicas...

Seja um polinômio $p(x)$. Sejam $d(x)$, $q(x)$ e $r(x)$ polinômios tais que

$p(x)=d(x).q(x)+r(x)$

onde chamaremos de "divisor" o polinômio $d(x)$, "quociente" o $q(x)$ e resto o $r(x)$. Perceba, ainda, que $\partial d>\partial r$. Quando se encontra $q(x)$ e $r(x)$ se são dados $p(x)$ e $d(x)$ temos uma divisão.

Não fiz nem expliquei nada de mais, certo? Tu sabia de tudo isso, né? Pois bem, vamos agora fazer $d(x)=x+1$ e $p(x)=x^{31}+31$. Por causa daquela relação que citei sobre o grau do resto e do divisor encontramos que $\partial r=0$, logo teremos que $r(x)=k$, onde k é um número real. Daí teremos:

$p(x)=(x+1).q(x)+k$

Agora é fazer $x=-1$ e substituir esse valor em $p(x)$:

$p(-1)=(-1)^{31}+31\Rightarrow p(-1)=-1+31\Rightarrow \boxed{p(-1)=30}\\ \\ p(-1)=(-1+1)q(x)+k\\ \\ \boxed{\boxed{k=30}}$

R: c) 30