Question

(PUC-SP) O quociente entre dois números naturais consecutivos é igual a 1,090909... A soma desses números é igual a :

Answer 1

Seja "x" um numero natural, seu consecutivo será "x+1".

Como o quociente é maior que 1, podemos afirmar que o maior numero foi dividido pelo menor, ou seja:

$\rightarrow~\frac{x+1}{x}~=~1,090909...$

Perceba que 1,090909 é uma dizima periódica com período (parte do numero que se repete infinitamente) igual a 90.

Vamos achar a fração geratriz da dizima:

$1,090909...~=~1+0,0909090...\\\\\\1,090909...~=~1+\frac{90}{990}\\\\\\1,090909...~=~\frac{1~.~990~+~1~.~90}{990}\\\\\\1,090909...~=~\frac{1080}{990}\\\\\\\boxed{1,090909...~=~\frac{12}{11}}$

Substituindo na equação do quociente dos números naturais consecutivos:

$\frac{x+1}{x}~=~\frac{12}{11}\\\\\\Multiplicando~Cruzado\\\\\\x~.~12~=~(x+1)~.~11\\\\\\12x~=~11x+11\\\\\\12x-11x~=~11\\\\\\\boxed{x~=~11}$

Somando os dois números:

$x+(x+1)~=~11+(11+1)~=~11+12~=~\boxed{23}$

Resposta: 23