Matemática, perguntado por Anonimo619, 8 meses atrás

(PUC-SP) Na função exponencial y = 2^2x−4, determine os valores de x para os quais 1 < y < 32.
a) S = { x ∈ R; 2 < x < 9}


b) S = { x ∈ R; 1 < x < 9}


c) S = { x ∈ R; 1/2 < x < 9}


d) S = { x ∈ R; 2 < x < 9/2}


e) S = { x ∈ R; 1/2 < x < 9/2}



Se possível com os cálculos, por favor...

Soluções para a tarefa

Respondido por Vicktoras
7

Temos uma equação exponencial definida por:

 \:  \:  \:  \:  \:  \:  \:  \:  \:  \:  \:  \:  \:  \:  \:  \:  \:  \:  \:  \:  \: y =  {2}^{2x - 4}

A questão quer saber para quais valores de x, a imagem tem um valor entre 1 < y < 32. Primeiro vamos substituir essa função na desigualdade:

 \:  \:  \:  \:  \:  \:  \:  \:  \:  \:  \:  \:  \: 1 &lt; 2 {}^{2x - 4}  &lt; 32

Assim como em uma função exponencial, devemos deixar todas as bases iguais. Vamos iniciar fatorando o número 32:

32 = 2 \: . \:  2 \: . \: 2 \: . \: 2 \: . \: 2 = 2 {}^{5}

Substituindo essa informação:

 \:  \:  \:  \:  \:  \:  \:  \:  \:  \:  \:  \:  \:  \:  \: 1 &lt; 2 {}^{2x - 4}  &lt; 2 {}^{5}

Agora devemos lembrar que qualquer número elevado a 0 é igual a 1, ou seja, podemos dizer que 2⁰ = 1. Fazendo isso temos:

 \:  \:  \:  \:  \:  \:  \:  \:  \:  \:  \:  \:  \:  \: 2 {}^{0}  &lt; 2 {}^{2x - 4}  &lt; 2 {}^{5}

Agora vamos lembrar da propriedade:

A^x\&gt; A^y = x &gt;y, \: \forall A &gt; 1 \\ ou \\ A^x\ &lt;  A^y = x  &lt; y, \: \forall A   &gt;  1

Como a nossa base é maior que 1, então vamos manter os sinais. Então:

 \:  \:  \:  \:  \:  \:  \:  \:  \:  \:  \:  \:  \: 0 &lt; 2x - 4 &lt; 5 \:

Agora basta resolver essa inequação simultânea:

0 &lt; 2x - 4 &lt; 5 \:  \to \: 4 &lt; 2x &lt; 9 \\  \\  \frac{4}{2}  &lt; x &lt;  \frac{9}{2}  \:  \to \: \boxed{ 2 &lt; x &lt;  \frac{9}{2} }

Podemos concluir que:

  • Resposta: letra d)

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