Question

(PUC-SP) Determine o valor de a para que a equação x² + x + a=0 admita duas raízes reais e iguais.

Answer 1

Resposta:

Para que a equação dada admita duas raízes reais e iguais o valor de a deve ser

$\boxed { \sf \displaystyle a = \frac{1}{4} = 0{,}25}$

Explicação passo-a-passo:

A equação do problema é uma equação do segundo grau. A forma geral, comumente usada para uma equação do segundo grau é:

$\boxed{\sf \displaystyle ax^2 + bx + c } \ \sf (I)$

Uma das opções para resolvê-la é através da fórmula de Bhaskara.

$\boxed{\sf \displaystyle x = -\: \dfrac{b \pm\sqrt{\Delta} }{2a}} \ \sf (II)$

Deve-se observar que o sinal $\sf \displaystyle \pm$ é o responsável por existirem raízes diferentes e que, se Δ = 0, existirá apenas uma raiz (ou, como se afirma em algumas bibliografias, duas raízes reais e iguais).

O valor de Δ é obtido pela equação:

$\boxed{\sf \displaystyle \Delta = b^2 - 4\cdot a\cdot c} \ \sf (III)$

Neste problema, deve-se tomar um certo cuidado com o valor dos coeficientes uma vez que a letra a é igual ao coeficiente c.

Listando os coeficientes, por comparação da equação dada no problema com a equação (I):

a = 1;

b = 1;

c = a.

Usando esses valores na equação (III), lembrando que se quer Δ = 0

$\sf \displaystyle 0 = 1^2 - 4\cdot 1\cdot a$

$\sf \displaystyle 4\cdot a = 1$

$\boxed { \sf \displaystyle a = \frac{1}{4} }$

ou

$\boxed { \sf \displaystyle a = 0{,}25 }$