Question

(PUC-SP) Determinar a equação da circunferência com centro na origem e tangente a reta 3x + 4y = 10.

Answer 1

Resposta:

Centro=(0,0)

distância entre o centro e a reta tangente é o raio

d=|3*0+4*0-10|/√(3²+4²) =10/5=2  que é o raio

(x-a)²+(y-b)²=r²

(x-0)+(y-0)2=2²

x²+y²=4  é a equação da circunferência pedida

Answer 2

❑ A equação dessa circunferência é x² + y² = 4.

❑ Equação reduzida da circunferência

$\boxed{ (x- xc)^{2} + (y- yc)^{2} = r^{2} }$

➯ Sendo:

• x e y = coordenadas de um ponto qualquer da circunferência

• xc e yc = coordenadas do centro da circunferência

• r = raio da circunferência

➯ Note que, no nosso problema, o centro está na origem. Ou seja, as coordenadas da circunferência são (0, 0). Logo, temos que: xc = 0 e yc = 0. Substituindo na equação:

$(x- 0)^{2} + (y- 0)^{2} = r^{2}$

$\boxed{\boxed{ x^{2} + y^{2} = r^{2} }}$

Ou seja, nesse problema, estamos procurando esse tipo de equação. Para montá-la, basta somente encontrar o raio r da circunferência.

❑ Note que o enunciado nos fornece uma informação importante: "circunferência [...} tangente a reta 3x + 4y = 10". Para saber como utilizar essa informação, vamos relembrar posições relativas entre reta e circunferência.

❑ Posição relativa entre reta e circunferência

• Vamos chamar de d a distância entre o centro da circunferência e a reta.

➯ Reta secante à circunferência

Essa reta secante corta 2 pontos da circunferência. Note que d < r

➯ Reta tangente à circunferência

Essa reta tangente corta 1 ponto da circunferência. Note que d = r

➯ Reta externa à circunferência

Não corta nenhum ponto. Note que d > r.

❑ Como calcular essa distância d?

• Usando a seguinte fórmula:

$\boxed{d = \dfrac{|a \cdot xc +b \cdot yc + c|}{\sqrt{a^{2} + b^{2} } } }$

➯ Sendo:

• xc e yc = coordenadas do centro da circunferência

• a, b e c = coeficientes da equação da reta

❑ Resolução da questão

➯ Como a reta é tangente à circunferência, então, temos que:

$\boxed{ d = r}$

Logo, para achar r, precisamos primeiro encontrar d. A equação da reta é:

3x + 4y = 10

Passando o 10 para o primeiro membro:

• 3x + 4y - 10 = 0

Escrevendo uma equação genérica:

ax + by + c = 0

➯ Com isso, percebemos que:

• a = 3

• b = 4

• c = - 10

➯ Lembrando que xc = 0 e yc = 0. Aplicando a fórmula:

$\boxed{d = \dfrac{|a \cdot xc +b \cdot yc + c|}{\sqrt{a^{2} + b^{2} } } }$

$d = \dfrac{|3 \cdot 0 +4 \cdot 0 -10|}{\sqrt{(3)^{2} + (4)^{2} } }$

$d = \dfrac{|-10|}{\sqrt{9 + 16 } }$

$d = \dfrac{|-10|}{\sqrt{25 } }$

$d = \dfrac{|-10|}{5}$

$d = \dfrac{10}{5}$

$\boxed{ d = 2}$

➯ Como d = r:

$\boxed{\boxed{ r = 2}}$

➯ Aplicando na fórmula da equação da circunferência:

$x^{2} + y^{2} = r^{2}$

$x^{2} + y^{2} = 2^{2}$

$\boxed{\boxed{x^{2} + y^{2} = 4}}$

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