Question

(PUC-SP) A sequência (a,, ag, ag, ...) é uma progressão aritmética
de razão 3 e a sequência (bn, bn, bn, ...) é uma progressão geométrica
crescente.
Sabendo que a2 = b3, a10 = b5 e a42 = b7, o valor de b4-a4, é:​

Answer 1

Resposta:

2

Explicação passo-a-passo:

a2 = b3 → a1 + r =  b1 .q2 → a1 + 3 =  b1 .q2

a10 = b5 → a1 + 9r =  b1 .q4 → a1 + 27 =  b1 .q4 → a1 + 3 + 24 =  b1 .q4

b1.q2 + 24 =  b1 .q4 → 24 =  b1 .q4 - b1.q2 → 24 =  b1(q4 - q2) →

a42 = b7 → a1 + 41r =  b1 .q6 → a1 + 123 =  b1 .q6 → a1 + 3 + 120 =  b1 .q6  

b1.q2 + 120 =  b1 .q6 → 120 =  b1 .q6 - b1.q2  → 120 =  b1(q6 - q2)

24/120 =  b1(q4 - q2)/b1(q6 - q2) → 24/120 =  b1.q2.(q2 - 1)/b1.q2.(q4 - 1) →

1/5 =  (q2 - 1)/(q4 - 1) → q4 – 1 = 5.(q2 - 1) → q4 – 1 = 5q2 – 5 →

q4 – 5q2 + 4 = 0  → fazendo q2 = x → x2 – 5x + 4 = 0 → ∆ = 9 → x = (5 ± 3)/2  

x' = 4 ou x'' = 1.

Se q2 = 4 → q' = 2 ou  q" = - 2 (não convém) ou

Se q2 = 1 → q' = 1(não convém)  ou q" = - 1(não convém)

Portanto como 24 =  b1(q4 - q2) → 24 =  b1(24 - 22) → b1 = 2 e

a1 + 3 =  b1 .q2 → a1 + 3 =  2.22 → a1 = 5.

Por fim, b4 – a4 = b1.q3 – a1 - 3r = 2.23 – 5 - 9 = 16 – 14 = 2