Question

(PUC – RS) Em cada uma das retas paralelas r e s, são marcados 4 pontos representados pelos sinais # e •. Na escolha de 3 desses pontos como vértices de um triângulo, sendo um deles representado por um sinal diferente, o número de triângulos que podem ser determinados é:

Answer 1

Boa noite

De acordo com o texto não é possível usar 3 pontos de uma mesma reta. Em cada triângulo devemos usar 2 pontos de uma das retas e 1 ponto da outra.

Usando 2 dos 4 pontos de uma reta podemos formar

$C_{4,2} =\dfrac{4!}{(4-2)!*2!} =\dfrac{4!}{2!*2!} =\dfrac{4*3*2!}{2!*2!} =\dfrac{4*3}{1*2}=6\quad  segmentos$

unindo as extremidades de cada segmento a um ponto da outra reta, obtemos 4*6 = 24 triângulos.

Usando 1 ponto da reta   r   e 2 da reta   s  .

$4* C_{4,2} =4* \dfrac{4*3}{1*2} =4*6=24$

Usando 1 ponto da reta   s   e 2 da reta   r .

$4* C_{4,2} =4* \dfrac{4*3}{1*2}=4*6 =24$

No total são  24+24 = 48

Resposta  :   48   triângulos

Outra solução :

Usando 8 pontos podemos fazer

$C_{8,3} =\dfrac{8*7*6}{1*2*3}=56 \quad triangulos$

mas ao usar os 4 pontos da reta r obtemos 4 falsos triângulos e o mesmo acontece quando usamos os 4 pontos da reta s.

Temos um total de 4+4= 8 falsos triângulos

Os triângulos válidos são  56 - 8 = 48

No anexo : um exemplo de cada "tipo"

Answer 2

Olá, primeiramente deve se lembrar que para formar um triangulo deve se ter 3 pontos, então combinaremos os 8 pontos das retas para formarmos o maior numero de triângulos possíveis.

$C8,3 = 8! / 3!(8-3)! = 56$

Após descobrir o total, iremos descobrir as figuras com símbolos iguais, que é, 4* e 4 # então

$C4,3 + C4,3 = 4!/3! + 4!/3! = 4 + 4 = 8$

Pronto, agora devemos nos lembrar da condição de existência dos triângulos, os três pontos nunca podem estar sobre a mesma reta. Cada reta tem 4 pontos, então vamos calcular quantos "triângulos" seriam "formados" em cada reta.

$C4,3 + C4,3 = 4!/3! + 4!/3! = 4 + 4 = 8$

Agora iremos somar as condições que não poderiam ocorrer (os triângulos com mesmo símbolo e os triângulos na mesma reta) e iremos subtrair do total de triângulos existentes, de modo a obter somente triângulos válidos:

Triângulos válidos = 56 - (8 + 8)

Triângulos válidos = 56 - 16

Triângulos válidos = 40