Question

(puc rs) a solução da equação 2^(x+1) - 2^(3-x) - 6 pertence ao intervalo...

Answer 1

Olá Juliana,

dada a equação exponencial,

$2^{x+1}-2^{3-x}-6=0$

aplique as propriedades da exponenciação:

$2^x*2^1-2^3*2^{-x}-6=0\\\\ 2^1*2^x- \dfrac{2^3}{2^x}-6=0\\\\ 2*2^x- \dfrac{8}{2^x}-6=0$

Usando uma variável auxiliar, fazendo,

$2^x=k$    ,    teremos:

$2*k- \dfrac{8}{k}-6=0\\\\ 2k- \dfrac{8}{k}-6=0\\\\ (k*2k)-8-6*k=0\\ 2k^2-8-6k=0~\to~divida~por~2\\\\ k^2-3k-4=0$

$k= \dfrac{-b\pm \sqrt{b^2-4ac} }{2a}\\\\\\ k= \dfrac{-(-3)\pm \sqrt{(-3)^2-4*1*(-4)} }{2*1}= \dfrac{3\pm \sqrt{9+16} }{2}= \dfrac{3\pm \sqrt{25} }{2}\\\\\\ k= \dfrac{3\pm5}{2}~\to~\begin{cases}k'= \dfrac{3-5}{2}~\to~k'= \dfrac{-2}{~~2}~\to~k'=-1~~(k\notin R)\\\\ k''= \dfrac{3+5}{2}~\to~k''= \dfrac{8}{2}~\to~k''=4 \end{cases}$

Retomando a variável auxiliar, temos:

$2^x=k\\ 2^x=4\\ 2^x=2^2\\ \not2^x=\not2^2\\\\ x=2\\\\ \boxed{S=\{2\}}$

Espero ter ajudado e tenha ótimos estudos =))