Question

(PUC-RS 2014) Observe a sequência representada no triângulo abaixo:
          
               1
            4 7 10
     13 16 19 22 25
28 31 34 37 40 43 46

Na sequência, o primeiro elemento da décima linha será
a) 19 b) 28 c) 241 d) 244 e) 247

Answer 1

Os números crescem em PA de razão (r) = 3.

1
4      7    10
13   16   19    22    25
28   31   34    37    40    43    46

Observe que o primeiro termo de cada linha também cresce em uma progressão.
Na 10ª linha, o primeiro termo será o a82 da sequência. Assim:

a82 = a1 + 81r
a82 = 1 + 81 *3
a82 = 1 + 243
a82 = 244

Answer 2

O primeiro elemento da décima linha será 244.

Alternativa D.

Vamos focar nos primeiros elementos de cada linha.

(1 - 4 - 13 - 28)

A diferença entre esses termos é a seguinte:

(3 - 9 - 15)

Então, nesta lista percebemos que há uma progressão, pois a diferença entre esses termos sempre é 6.

Portanto, temos um caso de PA (progressão aritmética) de segunda ordem.

Assim, usaremos a seguinte fórmula:

an = a₁ (primeira ordem) + Sn - 1 (segunda ordem)

A PA de segunda ordem será (3, 9, 15,...)

Como queremos saber o décimo elemento, temos n = 10.

Antes, precisamos achar o valor do nono termo da PA de segunda ordem.

an = a₁ + (n - 1).r

a₉ = 3 + (9 - 1).6

a₉ = 3 + 8.6

a₉ = 51

Agora, precisamos calcular a soma dos 9 termos da sequência da segunda ordem.

Sn - 1 = (a₁ + an).n

                   2

S₉ = (3 + 51).9

            2

S₉ = 54.9

         2

S₉ = 243

Por fim, basta somar:

an = a₁ (primeira ordem) + Sn - 1 (segunda ordem)

a₁₀ = 1 + 243

a₁₀ = 244

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