Question

(PUC-RJ) - As raízes da equação x³ - 2x² - 3x = 0 são:

a) -2, 0 e 1
b) -1, 2, e 3
c) -3, 0 e 1
d) -1, 0 e 3
e) -3, 0 e 2

Resposta: d) -1, 0 e 3
(JUSTIFIQUE)

Answer 1

x^3 - 2x^2 - 3x =0

x(x^2 - 2x -3) =0

x =0 ^ x^2 - 2x -3

∆= (-2)^2 - 4 × 1 × (-3)

∆= 4+12 =16

x1/2 = -(-2)+- √16/2 × 1

x1 = 2+4/2 <> x1 = 6/2 = 3

x2 = 2-4/2 <> x2 = -2/2 = -1

S ={-1;0;3}

bons estudos

Answer 2

A equação dada é de terceiro grau (o maior expoente da incógnita x é 3). Portanto, teoricamente, pode ter até três raízes reais.

Sabemos que não existe uma fórmula genérica que nos permita achar as raízes de qualquer equação de terceiro grau.

Mas existe uma que permite achar as raízes de uma de segundo grau.

Se tivermos como fatorar este polinômio de terceiro grau, transformando-o no produto de um de primeiro por outro de segundo, aplicamos Bhaskara para determinar as raízes do de segundo grau.    

Vamos lá:

x³ - 2$x^{2}$ - 3x = 0

Colocando x em evidência:

x($x^{2}$ -2.x -3) = 0

Já descobrimos uma das raízes. Se x for 0, o seu produto por ($x^{2}$ -2.x -3) será igual a 0. Certo?

Para achar as outras duas raízes, precisamos saber quando vale x para que:

$x^{2}$ -2.x -3 = 0

É aqui que usamos Bhaskara, onde:

a = 1

b = -2

c = -3

Para descobrir a primeira raiz, fazemos:

x = $(-b - \sqrt{b^2 -4.a.c})/2.a$

x = $(-(-2) - \sqrt{(-2)^2 -4.1.(-3)})/2.1$

x = $(2 - \sqrt{4 +12})/2.1$

x = $(2 - \sqrt{16})/2$

x = (2 - 4)/2

x = -2/2

x = -1

Para descobrir a segunda raiz, fazemos:

x = $(-b + \sqrt{b^2 -4.a.c})/2.a$

x = $(-(-2) + \sqrt{(-2)^2 -4.1.(-3)})/2.1$

x = $(2 + \sqrt{4 +12})/2.1$

x = $(2 + \sqrt{16})/2$

x = (2 + 4)/2

x = 6/2

x = 3

Portanto, as raízes procuradas são 0, -1 e 3.

(c.q.d.)

:-)