Question

(PUC Rio) Seja ABC um triângulo retângulo em B. Seja AD a bissetriz de CÂB. Sabemos que AB mede 1 e que BD mede
$\frac{1}{2}$
. Quanto mede o cateto BC?

Answer 1

Boa noite

A' = A/2

tg(A') = (1/2)/1 = 1/2 
tg(A) = 2tg(A')/(1 - tg²(A'))
tg(A) = 2*1/2/(1 - 1/4) = 1/(3/4) = 4/3 

tg(A) = BC/AB
BC = AB*tg(A) = 2*4/3 = 8/3 

Answer 2

O cateto BC mede 4/3.

Vamos supor que AC = x e BC = y. Como BD = 1/2, então CD = y - 1/2.

Observe o que diz o Teorema da Bissetriz Interna:

• Em qualquer triângulo, uma bissetriz interna divide o lado oposto em segmentos proporcionais aos lados adjacentes.

Como AD é a bissetriz interna do ângulo CAB, então é correto afirmar que:

BD/AB = CD/AC

(1/2)/1 = (y - 1/2)/x

1/2 = (y - 1/2)/x

x/2 = y - 1/2

x = 2y - 1.

O triângulo ABC é retângulo. Utilizando o Teorema de Pitágoras, obtemos:

AC² = BC² + AB²

Substituindo os valores dos segmentos AB, BC e AC:

x² = y² + 1²

(2y - 1)² = y² + 1

4y² - 4y + 1 = y² + 1

3y² - 4y = 0

y(3y - 4) = 0

y = 0 ou y = 4/3.

Portanto, podemos concluir que a medida do cateto BC é igual a 4/3.

Exercício sobre bissetriz interna: https://brainly.com.br/tarefa/18996168