Question

(PUC-PR) Considere o quadrado e o losango inscrito nesse quadrado. A área da figura sombreada vale:

Answer 1

Aí está. Agora sim está certo...

Answer 2

A área da região pintada será $16-(16-8\sqrt2)=8\sqrt{2}$

A diagonal do quadrado pode ser obtida pelo teorema de Pitágoras.

$d^2=4^2+4^2\\d=4\sqrt{2}$

Cada metade deste quadrado (dividida pela contradiagonal) tem o trecho da diagonal dividida em uma soma de forma que

$2*(x+2)=4\sqrt{2}\\(x+2)=2\sqrt{2}\\x=2\sqrt2-2$

Onde x é uma das metades da diagonal menor do losango.

O losango é formado por 4 triângulos retângulos.

A base e altura de cada um deste triângulo tem medidas iguais a:

Base: $2\sqrt2-2$

Altura: $\dfrac{4\sqrt} {2}$ (metade da diagonal)

Assim a área do triângulo será

$\dfrac{base*altura} {2}=\dfrac{(2\sqrt2-2)*2\sqrt2}{2}=\dfrac{8-4\sqrt2} {2} =4-2\sqrt2$

Como temos um total de quatro triângulos formando o losango, teremos que a área total será $4*(4-2\sqrt2)=16-8\sqrt2$

Esta é a área do losango.

A área da região pintada será $16-(16-8\sqrt2)=8\sqrt{2}$