Question

(PUC PR/2000) O 4° e 9° termos de uma progressão aritmética crescente são as raízes de x²- 8x - 9 = 0.
O 1° termo desta progressão é:​

Answer 1

Primeiro vamos resolver a equação

x² - 8x - 9 = 0

Δ = b² - 4.a.c

Δ = (-8)² - 4 . 1 . -9

Δ = 64 - 4. 1 . -9

Δ = 100

Há 2 raízes reais.

x = (-b +- √Δ)/2a

 

x' = (--8 + √100)/2.1    

x'' = (--8 - √100)/2.1

x' = 18 / 2    

x'' = -2 / 2

x' = 9    

x'' = -1

A P.A. é crescente, então quanto maior o valor, maior deve ser o termo

Podemos dizer então que

a4 = -1

a9 = 9

Sabemos que o termo geral de uma progressão é

an = a1 + (n - 1).r

Portanto:

a4 = a1 + 3r = -1

a9 = a1 + 9r = 9

Temos então o seguinte sistema

a1 + 3r = -1

a1 + 9r = 9

Multiplicando a primeira equação por -3 temos:

-3a1 - 9r = 3

a1 + 9r = 9

Somando ambas:

-2a1 = 12

a1 = 12/-2

a1 = -6

Portanto o primeiro termo dessa progressão é -6

Answer 2

x² - 8x - 9 = 0

a = 1,  b = - 8  e  c = - 9

x = - b ± √Δ / 2a

x = - (-8) ± √(-8)² -4(1)(-9) / 2(1)

x = 8 ± √64 + 36 / 2

x = 8 ± 10 / 2

x1 = - 2/2

x1 = - 1

x2 = 18/2

x2 = 9

a4 = - 1  

a9 = 9

a9 = a4 + 5r

9 = - 1 + 5r

5r = 9 + 1

5r = 10

r = 2

a4 = a1 + 3r

- 1 = a1 + 3(2)

- 1 = a1 + 6

a1 = - 1 - 6

a1 = - 7

O primeiro termo vale - 7.

Espero ter ajudado!