(PUC) O goleiro de um time de futebol deu um chute, e a bola realizou uma trajetória que pode ser modelada pela expressão S(t) = at2 + bt + c, sendo S a altura alcançada pela bola e medida em metros (m) e t o tempo medido em segundos (s).
Se S(3) = S(6), então a bola atingiu sua altura máxima em:
Resposta: 4,5 segundos
Soluções para a tarefa
Supondo que o tempo total do percurso seja de 9 segundos, e que os tempos de 3 segundos e 6 segundos, na equação da trajetória são iguais, S(3) = S(6). Podemos supor que, como se trata de um lançamento oblíquo, para a bola alcançar sua altura máxima dentro do intervalo de tempo de 0 a 9 segundos, podemos supor que será na metade do seu trajeto, ou seja, quando estiver na metade do intervalo de tempo do seu trajeto:
ts = t/2
ts = 9/2
t = 4,5 s.
Explicação:
A ideia nessa tarefa é a relação da expressão cinemática da trajetória da bola com o lançamento oblíquo.
O lançamento oblíquo ocorre quando um objeto inicia seu movimento formando um determinado ângulo com a horizontal. Nesse tipo de lançamento, o objeto executa dois movimentos simultâneos, ao mesmo tempo em que executa um movimento na vertical, subindo e descendo, também se desloca horizontalmente.
A análise do lançamento oblíquo deve ser feita levando em consideração o movimento executado na vertical (eixo y) e o movimento na horizontal (eixo x). Quanto ao movimento no eixo y, a preocupação será a determinação da altura máxima atingida pelo corpo, por conta da atuação da gravidade neste eixo o movimento será uniformemente variado. As análises do movimento no eixo x irão determinar o alcance horizontal do lançamento, isto é, a distância entre os pontos de partida e chegada. Horizontalmente, o movimento será retilíneo e uniforme.
Sabendo que, a equação para o alcance e o tempo de subida e descida:
O tempo considerado na equação do alcance (A) é o tempo total para que o objeto saia do chão, atinja a altura máxima e retorne ao solo. No estudo do lançamento vertical, vemos que o tempo gasto para que um objeto atinja a altura máxima vertical é dado por:
ts = Vy/g
Para o tempo total:
t = 2.V.senθ/g
O tempo destacado acima refere-se à subida do objeto, logo, o tempo total do movimento será o dobro.
Através da equação do tempo total chegamos na equação do alcance:
A = V².sen2θ/g
O alcance será o máximo possível quando o ângulo de lançamento for igual a 45°. Como o ângulo é multiplicado por dois na equação do alcance, o seno calculado será o de 90°, que corresponde ao máximo valor de seno possível, assim o alcance será o máximo possível.
A imagem abaixo indica as possíveis trajetórias para lançamentos oblíquos executados sobre ângulos diversos. Observe que o maior alcance ocorre quando o ângulo de lançamento é igual a 45º.
Ou seja, relacionando com a equação da trajetória da bola:
Supondo que o tempo total do percurso seja de 9 segundos, e que os tempos de 3 segundos e 6 segundos, na equação da trajetória são iguais, S(3) = S(6). Podemos supor que, como se trata de um lançamento oblíquo, para a bola alcançar sua altura máxima dentro do intervalo de tempo de 0 a 9 segundos, podemos supor que será na metade do seu trajeto, ou seja, quando estiver na metade do intervalo de tempo do seu trajeto:
ts = t/2
ts = 9/2
t = 4,5 s.
