Question

(PUC) O conjunto verdade da equação irracional (segue a imagem abaixo) é:

Answer 1

Resposta:

x = 3

Explicação passo-a-passo:

$\sqrt{x-1+\sqrt{2x-2}}=2$

Para remover o radical no lado esquerdo da equação, eleve ao quadrado ambos os lados da equação.

$(\sqrt{x-1+\sqrt{2x-2}})^{2}=2^{2}$

$x-1+\sqrt{2x-2}=4$

$\sqrt{2x-2}=4-x+1$

$\sqrt{2x-2}=-x+5$

Para remover o radical no lado esquerdo da equação, eleve ao quadrado ambos os lados da equação.

$(\sqrt{2x-2})^{2}=(-x+5)^{2}$

$2x-2=x^{2}-10x+25$

$x^{2}-10x+25-2x+2=0$

$x^{2}-12x+27=0$

Encontre um par de números inteiros cuja soma é -12 e cujo produto é 27. Os números são: -3 e -9.

$x^{2}-3x-9x+27=0$

No termo (x² - 3x) coloque o x  em evidência e no termo (-9x + 27), coloque o -9 em evidência.

$x(x-3)-9(x-3)=0$

Coloque o (x-3) em evidência.

$(x-3).(x-9)=0$

As raízes serão:  x - 3 = 0  -->  x = 3

                            x - 9 = 0 -->  x = 9

Verifique cada uma das soluções substituindo-as em $\sqrt{x-1+\sqrt{2x-2}}=2$ e resolvendo.

x = 9  -->  $\sqrt{9-1+\sqrt{2.9-2}}=2$ → $\sqrt{8+\sqrt{16}}=2$ → $\sqrt{8+4}=2$ → $\sqrt{12}=2$ → $2\sqrt{3}\neq2$

Daí, x = 9 não satisfaz a equação.

x = 3  -->  $\sqrt{3-1+\sqrt{2.3-2}}=2$ → $\sqrt{2+\sqrt{4}}=2$ → $\sqrt{2+2}=2$ → $\sqrt{4}=2$ → $2=2$

Daí, x = 3 satisfaz a equação.

R.: x = 3