Matemática, perguntado por kggmaster, 2 meses atrás

(PUC) O conjunto dos valores de x para os quais os pontos do gráfico de f(x) = x³ - 4x² - 5x estão acima do eixo das abscissas é:

Soluções para a tarefa

Respondido por ncastro13

A alternativa B é a correta. O conjunto dos valores de x que a função está acima do eixo das abscissas é {x ∈ R/-1 < x < 0 ou x > 5}. A partir dos conhecimentos a respeito de funções, podemos determinar a raiz da função, trabalhando algebricamente a lei de formação.

Raízes da Função

As raízes de uma função são os valores em que função intercepta o eixo das abscissas.

Dada a função:

f(x) = x³ - 4x² - 5x

Precisamos determinar os valores que f(x) = 0:

f(x) = 0

x³ - 4x² - 5x = 0

Colocando x em evidência:

x³ - 4x² - 5x = 0

x(x² - 4x - 5) = 0

Em um produto, basta que um dos fatores seja igual a zero. Igualando a o termo do segundo grau a zero:

x² - 4x - 5 = 0

Δ = b² - 4ac

Δ = (-4)² - 4(1)(-5)

Δ = 16 + 20

Δ = 36

x = (-b ± √Δ)/2a

x = (-(-4) ± √36)/2

x = (4 ± 6)/2

x' = -1 ou x'' = 5

Assim, retomando a equação, as raízes são:

x = 0
x = -1
x = 5

Analisando os sinais da função:

x < -1 → x < 0 e x² - 4x - 5 > 0 → (-) ⋅ (+) = (-)
-1 < x < 0 → x < 0 e x² - 4x - 5 < 0 → (-) ⋅ (-) = (+)
0 < x < 5 → x > 0 e x² - 4x - 5 < 0 → (+) ⋅ (-) = (-)
x > 5 → x > 0 e x² - 4x - 5 < 0 → (+) ⋅ (+) = (+)

Assim, os intervalos que a função é positiva é: {x ∈ R/-1 < x < 0 ou x > 5}. A alternativa B é a correta.

O enunciado completo da questão é: "O conjunto dos valores de x para os quais os pontos do gráfico de f(x)=x³-4x²-5x estão acima do eixo das abscissas é: