Question

(PUC-MG) Os números inteiros não nulos a, b e c formam, nessa ordem, uma progressão geométrica de razão cinco. Os números a, bx e c, nessa ordem, formam uma progressão aritmética. O valor de x é : 

a) 13/5 
b) 17/5 
c)15 
d)25 

Answer 1

PG (a, b, c) => q = 5
b = 5a
c = 5b = 25a
...........
PA (a, bx, c) => (a, 5ax, 25a)
5ax = a + r => r = 5ax - a => r = a(5x - 1)

25a = a + 2r
25a - a = 2r
24a = 2r => 24a = 2a(5x-1) => 5x - 1 = 24a/2a => 5x - 1 = 12 => 5x = 13 => x = 13/5
LETRA A

Answer 2

E aí Lucas,

vamos expressar a P.A. e a P.G.:

$P.A.=(a,bx,c)\\ P.G.=(a,b,c)$

Primeiramente, vamos analisar a progressão geométrica, lembrando que um termo dividido pelo seu antecessor é igual a razão, como a razão é 5, podemos usar este raciocínio, encontrarmos o valor de b e c, veja:

$\dfrac{b}{a}=5~\to~b=5*a~\to~b=5a\\\\ c=5*b~\to~c=5*5a~\to~c=25a$

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Tendo encontrado o valor de b e c, podemos analisar agora a progressão aritmética, usando a mesma técnica (um termo à partir do segundo é igual ao seu antecessor somado à uma constante de nome razão), portanto:

$bx-a=c-bx\\ bx+bx=c+a\\ 2bx=c+a$

Substituindo b e c encontrados pela P.G., na sequência isolada da P.A., poderemos encontrar x:

$dados~da~P.G.\begin{cases}b=5a\\ c=25a\end{cases}inseridos~na~P.A.~\to~2bx=c+a$

$2*5a*x=25a+a\\ 10ax=26a\\ 10\not{a}x=26\not{a}\\ 10x=26\\\\ x= \dfrac{26}{10}~\to~x= \dfrac{26:2}{10:2}~\to~x= \dfrac{13}{5}~,~alternativa~A$

Espero ter ajudado e tenha ótimos estudos =))