Question

PUC-MG: Considere as matrizes de elementos reais A= \left[\begin{array}{ccc}1&x\\y&z\end{array}\right] , B= \left[\begin{array}{ccc}1&1\\1&2\end{array}\right] e C= \left[\begin{array}{ccc}3&5\\9&14\end{array}\right] . Sabendo que A.B=C, pode-se afirmar que o produto dos elementos de A é

Answer 1

Olá

Devemos fazer a multiplicação de matrizes normalmente, depois basta igualar com a matriz C, aí cairemos, nesse caso, em um sistema de equações 2x2.

$A= \left[\begin{array}{ccc}1&x\\y&z\end{array}\right] ~ B= \left[\begin{array}{ccc}1&1\\1&2\end{array}\right] ~ C= \left[\begin{array}{ccc}3&5\\9&14\end{array}\right]$


$\left[\begin{array}{ccc}1&x\\y&z\end{array}\right] \cdot~ \left[\begin{array}{ccc}1&1\\1&2\end{array}\right] \\ \\ \\ \left[\begin{array}{ccc}((1\cdot1)+(x\cdot1))~&((1\cdot 1)+(x\cdot2))\\((y\cdot1)+(z\cdot1))&((y\cdot1)+(z\cdot2))\end{array}\right]$


Agora iguala os elementos aij com cij

$1\cdot1+x\cdot1 = 3 \\ 1+x=3 \\x=3-1 \\ \\ \boxed{\boxed{ x=2}}$


$y\cdot1 + z\cdot1=9 \\\boxed{y + z=9} \\ \\ \\ y\cdot1 + z\cdot2 = 14\\\boxed{y+2z=14} \\ \\ \\ Agora~ temos~que~resolver~esse~sistema~2x2. \\ \\ Fazendo ~pelo~metodo~da~adicao \\ \\ y + z=9 ~~~~~~~ ~~~~(-\cdot1)\\y+2z=14 \\ \\ \\ -y-z=-9 \\ y+2z=14 \\ \\ \boxed{\boxed{z=5}}$


Agora é só substituir em qualquer uma das 2 equações

$y + z=9 \\ \\ y+5=9 \\ \\ y=9-5 \\ \\ \\ \boxed{\boxed{y=4}}$