Question

(PUC Campinas) Um silo de armazenamento de grãos é formado por um cilindro circular reto de altura 20m perfeitamente acoplado à uma semiesfera de raio 4m, de acordo com a figura abaixo.

Desprezando a espessura das paredes e considerando que todo espaço interno do silo pode ser ocupado por grãos, o volume total que pode ser armazenado nele, em metros cúbicos, é igual a:
A- 725pi/3
B- 1090pi/3
C- 1088pi/3
D- 1012pi/3
E- 448pi/3

Answer 1

O volume ocupado por um cilindro pode ser calculado como:

$V_c = \pi \cdot r^2 \cdot h$

Já o volume de uma semiesfera será o volume de uma esfera dividido por dois. Logo:

$V_{SE} = \frac{4\pi \cdot r^3}{3} \cdot \frac{1}{2} \\ \\ V_{SE} = \frac{2\pi \cdot r^3}{3}$

Perceba que o raio do cilindro é igual ao raio da semiesfera. Portanto, basta aplicar as fórmulas e calcular os volumes dos sólidos e, após isso, efetuar a soma de ambos. Observe:

$V_T = V_{C} + V_{SE} \\ \\ V_T = (\pi \cdot r^2 \cdot h) + (\frac{2\pi \cdot r^3}{3}) \\ \\ V_T = (\pi \cdot 4^2 \cdot 20) + (\frac{2\pi \cdot 4^3}{3}) \\ \\ V_T = \frac{\pi}{3} \cdot (3 \cdot 4^2 \cdot 20+ 2\cdot 4^3) \\ \\ \boxed{V_T = 1088 \frac{\pi}{3} ~~m^3}$