Question

. Prove usando o Princípio de Indução que para todo número natural n > 1, 1 3 + 2 3 + 3 3 + · · · + n 3 = n.(n + 1) 2 2 .

Answer 1

Olá.

Esse enunciado está incorreto no tocante dos números (faltou mostrar exponenciação de forma correta). Por meio de pesquisas, encontrei o certo, que pertence a UFMG. Segue o correto:

$\mathsf{\forall~n\in\mathbb{N}~|~n>1,~\{1^3+2^3+3^3+\cdots+n^3\}=\dfrac{n^2\tmes(n+1)^2}{4}}$

 

Como pedido pelo enunciado, usarei PIF, Princípio de Indução Finita. O PIF é usado para provar hipóteses limitadas por algum conjunto ou regra.

 

O primeiro passo é testar se é verdade.

 

Para n = 2, teremos:

1³ + 2³ = 1 + 8 = 9

 

$\mathsf{\dfrac{(2)^2\times(2+1)^2}{4}=}\\\\\mathsf{\dfrac{4\times(3)^2}{4}=}\\\\\mathsf{(3)^2=}\\\\\mathsf{9~\checkmark}$

 

Para n = 3, teremos:

1³ + 2³ + 3³ = 1 + 8 + 27 = 36

 

$\mathsf{\dfrac{(3)^2\times(3+1)^2}{4}=}\\\\\mathsf{\dfrac{9\times(4)^2}{4}=}\\\\\mathsf{\dfrac{9\times16}{4}=}\\\\\mathsf{\dfrac{144}{4}=}\\\\\mathsf{36~\checkmark}$

 

Para n = 4, teremos:

1³ + 2³ + 3³ + 4³ = 1 + 8 + 27 + 64 = 100

 

$\mathsf{\dfrac{(4)^2\times(4+1)^2}{4}=}\\\\\mathsf{\dfrac{16\times(5)^2}{4}=}\\\\\mathsf{\dfrac{16\times25}{4}=}\\\\\mathsf{\dfrac{400}{4}=}\\\\\mathsf{100~\checkmark}$

 

Para todos os testes, funcionou. Assumindo como verdade, temos nossa hipótese:

$\displaystyle\mathsf{\sum(1^3+2^3+3^3+\cdots n^3)=\dfrac{n^2(n+1)^2}{4}}\\\\\\\mathsf{P_{(n)}=\dfrac{n^2(n+1)^2}{4}}$

 

Considerando, n = k, teremos:

$\displaystyle\mathsf{\sum(1^3+2^3+3^3+\cdots k^3)=\dfrac{k^2(k+1)^2}{4}}\\\\\\\mathsf{P_{(k)}=\dfrac{k^2(k+1)^2}{4}}$

 

Para saber se é válido para todos os números, vamos testar com k + 1.

$\displaystyle\mathsf{\sum(1^3+2^3+3^3+\cdots k^3+(k+1)^3)=\dfrac{(k+1)^2[(k+1)+1)]^2}{4}}\\\\\\\mathsf{P_{(k+1)}=\dfrac{(k+1)^2(k+2)^2}{4}}$

 

O que diferencia P(k) e P(k + 1) é que o P(k + 1) tem em sua soma (k + 1)³.

Para comprovar a veracidade, ao somar (k + 1)³ em P(k), deveremos ter uma igualdade.

P(k + 1) = P(k) + (k + 1)³

 

Usaremos propriedades de produtos notáveis:

$\diamondsuit~\boxed{\boxed{\begin{array}{l}\\\mathsf{(a+b)^2=a^2+2ab+b^2}\\\\\mathsf{(a+b)^3=(a+b)(a+b)^2}\\~\end{array}}}$

 

Vamos aos cálculos.

$\mathsf{\dfrac{(k+1)^2(k+2)^2}{4}=\dfrac{k^2(k+1)^2}{4}+(k+1)^3}\\\\\\\mathsf{\dfrac{(k+1)^2(k+2)^2}{4}=\dfrac{k^2(k+1)^2}{4}+(k+1)(k+1)^2}\\\\\\\mathsf{\dfrac{(k+1)^2(k+2)^2}{4}=\dfrac{k^2(k+1)^2}{4}+\dfrac{4\cdot(k+1)(k+1)^2}{4}}\\\\\\\mathsf{\dfrac{(k+1)^2(k+2)^2}{4}=\dfrac{k^2(k+1)^2+[4\cdot(k+1)(k+1)^2~]}{4}}\\\\\\\mathsf{\dfrac{(k+1)^2(k+2)^2}{4}=\dfrac{k^2~\boxed{\mathsf{(k+1)^2}}+\left[~4\cdot(k+1)\boxed{\mathsf{(k+1)^2}}~\right]}{4}}$

Veja que ambos os lados estão sendo multiplicados por (k + 1)². Sendo assim, podemos colocar o (k + 1)² em evidência. Teremos:

$\mathsf{\dfrac{(k+1)^2(k+2)^2}{4}=\dfrac{(k+1)^2[~4\cdot(k+1)+k^2~]}{4}}\\\\\\\mathsf{\dfrac{(k+1)^2(k+2)^2}{4}=\dfrac{(k+1)^2[~4k+4+k^2~]}{4}}\\\\\\\mathsf{\dfrac{(k+1)^2(k+2)^2}{4}=\dfrac{(k+1)^2[~k^2+4k+4~]}{4}}$

 

Temos que: (k + 2)² = k² + 4k + 4

Sendo valores iguais, podemos substituir por (k + 2)². Teremos:

 

$\mathsf{\dfrac{(k+1)^2(k+2)^2}{4}=\dfrac{(k+1)^2[~k^2+4k+4~]}{4}}\\\\\\\mathsf{\dfrac{(k+1)^2(k+2)^2}{4}=\dfrac{(k+1)^2(k+2)^2}{4}~\huge\begin{array}{l}\checkmark\end{array}}$

 

Testado e comprovado:

$\boxed{\mathsf{\displaystyle\sum(1^3+2^3+3^3+\cdots n^3)=\dfrac{n^2(n+1)^2}{4},~\forall~n\in\mathbb{N}~|~n\ \textgreater \ 1~~~\checkmark}}$

 

Quaisquer dúvidas, deixe nos comentários.

Bons estudos.